オイラー法

オイラー：Euler †

１７０７年４月１５日、オイラーはスイスのバーゼルに牧師の子として生まれた。父は数学が好きで ヤコブ・ベルヌーイの弟子となって勉強した。２０歳の時ペテルスブルグ王立学士院に職を得て、以後死ぬまでここから給料をもらい続けることになる。２６歳で結婚したオイラーには１３人の子供がいた。オイラーは赤ん坊を膝にのせ、子供たちと遊びながら、数学の研究論文を書いた。 ニュートン力学の基本公式を初めて書き下したのはオイラーであった。変分法、剛体の力学、流体力学、音響学、航海術、船舶の設計など。月の運動の理論｛三体問題（太陽と地球と月）｝に史上初めて計算可能な近似解を与えた。フェルマーの最終定理にも貢献。物理学者でもある。

オイラー法：Euler method　積分方法 †

In mathematics and computational science, the Euler method, named after Leonhard Euler, is a first-order numerical procedure for solving ordinary differential equations (ODEs) with a given initial value. It is the most basic kind of explicit method for numerical integration for ordinary differential equations.

Derivation

We want to approximate the solution of the initial value problem

dy(t)/dt　=　f(t,y(t))

by using the first two terms of the Taylor expansion of y, which represents the linear approximation around the point (t0,y(t0)) . One step of the Euler method from tn to tn+1 = tn + h is

yn+1 = yn + h・f(t,yn)

The Euler method is explicit, i.e. the solution yn + 1 is an explicit function of yi for i<n.

While the Euler method integrates a first order ODE, any ODE of order N can be represented as a first-order ODE in more than one variable by introducing N − 1 further variables, y', y", ..., y(N), and formulating N first order equations in these new variables. The Euler method can be applied to the vector (y(t),y'(t),y"(t), ..., y(N)(t)　) to integrate the higher-order system.

The magnitude of the errors arising from the Euler method can be demonstrated by comparison with a Taylor expansion of y.

単振動のオイラー法 †

単振動の方程式を例に挙げて」、オイラー法を示してみよう。

運動方程式は

差分によって、時間を
⊿t だけ進める式は

ここで、n ステップ目の値を(pn; qn) とすると、1 ステップ分の時間発展は、2次元の差分方程式で表わせる。

オイラー法をEXELで解く †

単振動は最も簡単な2次元線形常微分方程式です。添付のEXELファイルを使って、いろいろ係数を変えて、試してみましょう。振動したり、発散したり、収束したりします。

• EXEL超入門 データーを読み込んでグラフを描く方法で紹介されています。