オプション価格モデル

オプションとは †

オプションとは、ある不確実性のもとで、将来時点に商品などを買う(売る)権利のことである。必ずしも実行の義務はない。

Option (finance), an instrument that conveys the right, but not the obligation, to engage in a future transaction on some underlying security, or in a futures contract.

オプション価格とは、そのような権利の値段(価値)を決めることである。 オプション契約の価値は、 原資産（underlying asset　オプション取引において原となる資産　たとえば穀物や株式）の価値のみならずいろいろな変数に依存して決まってくる。 いろいろな価格付けのモデルがある。

• ブラック・ショールズ　モデル、
• 二項オプション価格モデル、
• モンテカルロ・オプションモデル などがある。
• 二項分布モデルは、ジョン・コックス、ステファン・ロス、マーク・ルービンシュタインらによって1979年に発表されたモデルである。初等数学を使ってオプション価格決定理論を示したものとして、また、非常に難解なブラック・ショールズ・モデルは、このモデルを一般化することでも導出できるので、よく利用されている。

Because the values of option contracts depend on a number of different variables in addition to the value of the underlying asset, they are complex to value. There are many pricing models in use Amongst the most common models are:

• Black-Scholes and the Black model
• Binomial options pricing model
• Monte Carlo option model etc.

買う権利：Call　Option 売る権利　Put Option †

コールオプションとは、将来の定められた時期に買う権利である。 プットオオプションとは、同じく得る権利である。

A call option is a financial contract between two parties, the buyer and the seller of this type of option. It is the option to buy shares of stock at a specified time in the future.

• 英語で、株を一〇〇〇株買うのをshareを使って言う。

  I own 1000 shares of stock in Microsoft.

2項モデル †

このモデルは、離散時間表現であり、開始から完了の査定期間を与えられた時間ステップで区切り、原資産の価格変動を2項ラテスを用いて、トレースする。

The binomial pricing model uses a "discrete-time framework" to trace the evolution of the option's key underlying variable via a binomial lattice (tree), for a given number of time steps between valuation date and option expiration.

１期間の二項オプション価格モデル：one　period bionominal option pricing model †

最もシンプルな、1期間の二項オプション価格モデルを用いて説明する。

１．価格ツリーの作成

各ステップで原資産の価格がなんらかの要因でupするか、downするとしよう。現在の価格をSとし、 次の時点では、SuまたはSd　としよう。　u>1,1>d>0　とする。

• これは価格ツリーが1期間の場合である。繰り返すことで2項価格ツリーを作成(Create the binomial price tree)できる。

At each step, it is assumed that the underlying instrument will move up or down by a specific factor (u or d) per step of the tree (where, by definition, u>1 and 1>d>0). So, if S is the current price, then in the next period the price will either be Sup=Su or Sdown=Sd.

The bionominal option pricing model is also relatively simple, mathematically, and can therefore be readily implemented in a software (or even spreadsheet) environment.

２．最終ノードでのオプションの価値（Find Option value at each final node)

終了時点のオプション価格は、買う権利では、原資産価格とオプション買い取り額　K　の差の利益がでるか（権利を行使した場合）または0（権利を行使しない場合）のいずれか大きいほうである。

Max [ (S – K), 0 ], for a call option 
Max [ (K – S), 0 ], for a put option: 

プットオプションでは、結果が逆になる。

The option value is

Max [ (S – K), 0 ], for a call option 
Max [ (K – S), 0 ], for a put option: 

Where: K is the Strike price and S is the spot price of the underlying asset

原資産価格の実現値がアップの場合とダウンの場合のそれぞれで、オプションの価値を　Cu　と　Cdで 表わすと

Cu = Max [ (Su – K), 0 ]
Cd = Max [ (Sd – K), 0 ]

3.初期時点でのオプションの価値Find Option value at starting node

リスク中立の判断をすると仮定することで、当初でのオプションの価格は、ポートフォリオの期待値で見積もれる。期待値はアップ・ダウンした場合のオプション価値とそれぞれの確率(上昇確率ｐと下降確率1-p）を使って計算できる。この期待値は、利子率　ｒ(R=1+r)で割り引くことで現在時点での評価とする。

原資産をX円分、リスクフリー資産資産をｂ円購入したとしよう。次の期には、このポートフォリオは、アップしたかダウンしたかによって価値が異なる。しかしいずれもオプション価値の実現値と一致する必要がある。

アップした場合　uX+Rb=Cu
ダウンした場合　dX+Rb=Cd

この連立方程式を解くために、1番目の式から2番目の式を引くと

x=(Cu-Cd)/(u-d)

これから

b=(Cd-dX)/R　=(uCd-dCu)/(R(u-d))

この二つを合計すると、当初のでのポートフォリオの価値が決まる。

x+b=[pCu+(1-p)Cd]/R
ただし　p=(R-d)/(u-d)で定義されるリスク中立確率である。

そして、このポートフォリオの価値とコールオプションの価格は一致しなければならない。なぜならば、このポートフォリオの価値がコールオプションよりも高ければだれもコールを買わないからである。（無裁定の原理） リスク中立確率　p=(R-d)/(u-d)は、あたかも確率であるかのようにふるまう。アップする確率がPのリスク中立的な投資家の評価となっている。 　初期時点の評価値= [ p × Option up + (1-p) × Option down] /(1+r) 　p=(R-d)/(u-d)とする

初期時点のオプションの価格式 C=[pCu+(1-p)Cd]/R

Under the risk neutrality assumption, today's fair price of a derivative is equal to the expected value of its future payoff discounted by the risk free rate. Therefore, expected value is calculated using the option values from the later two nodes (Option up and Option down) weighted by their respective probabilities -- "probability" p of an up move in the underlying, and "probability" (1-p) of a down move. The expected value is then discounted at r, the risk free rate corresponding to the life of the option.

例題 †

現在の原資産価格=100円、行使価格=100円、満期日が1期後になるようなコールの当初価格はいくらが妥当か？？？ ただし、利子率は５％とする。Su=110円、Sd=90円とする。

[計算]

C=[p*10+p*0]/(1.05)
p=(1.05-0.9)/(1.1-0.9)=0.75
よって　C=7.14

現在の原資産価格100円で、行使価格100円とする。アップ１０％、ダウン率ー１０％、安全資産利回り５％の場合のコールの値段は７円程度が妥当である。

順にポートフォリオを計算して確認しよう。Su=110,Sd=90　なので

Cu = Max [ (Su – K), 0 ]=10　
Cd = Max [ (Sd – K), 0 ]=　0

原資産購入量は

x=(Cu-Cd)/(u-d)=10/0.2=50円

であり、原資産100円の50%購入すればよい。この割合をヘッジ率と呼ぶ。 安全資産は

b=(Cd-dX)/R　=(0-0.9*50)/1.05=　-42.86円

45円借り入れて投資すればよい。

言いかえれば、ヘッジ率50%で原資産を購入し、安全資産42.86円を借り入れるポートフォリオは、コールを7.14円で持つことと同等である。

このことをオプションを、原資産と安全資産のポートフォリオに複製するという。

Problem BOPWP1. †

[問題] ある会社の株価が1株あたり100ドルとする。1年後には120ドルか９０ドルになると予想される。リスクフリー資産の年間利回りは５％とする。この株の上のヨ－ロピアンプットオプションの行使価格が130ドルとする。1期間2項オプションモデルを用いて、現在のプットオプションの価格を求めよ。

The stock of Predictable Co. is currently worth $100 per share. In one year, this price can either be $120 or $90. Predictable Co. stock does not pay dividends. The annual continuously compounded risk-free interest rate is 5%. The strike price of a European put option on Predictable Co. stock is $130. Using, the one-period binomial option pricing model, find the price today of one such put option on Predictable Co. stock.

• First, we consider the put option price tree

P - - - Pu

P - - - Pd

In one year, if the stock is worth $120, the put option will be worth Pu = 130 - 120 = 10.

If the stock is worth $90, the put option will be worth Pd = 130 - 90 = 40.

We are given ∂ = 0, r = 0.05, S = 100, h = 1, u = 1.2, and d = 0.9.

We can still use the same formula for the risk-neutral probability of the stock price's increase next year: p* = (e(r-∂)h - d)/(u - d) = (e0.05 - 0.9)/(1.2 - 0.9) = p* = 0.5042369879

We also note that

P = e-rh[p*Pu + (1 - p*)Pd] = e-0.05[0.5042369879*10 + (1 - 0.5042369879)40] =

P = $23.65982519