ガウス・マルコフの定理

ヨハン・カール・フリードリヒ・ガウス　Johann Carl Friedrich Gauss (Gauß) †

• 1777年4月30日 - 1855年2月23日
• ドイツの数学者、天文学者、物理学者である。彼の研究は広範囲におよんでおり、特に近代数学のほとんどの分野に影響を与えたと考えられている。数学や磁気学の各分野には彼の名が付いた法則、手法等が数多く存在する。

ガウス＝マルコフの定理 †

最小二乗推定量は最小分散を持つ一般的線形不偏推定量、 BLUE(Best Linear Unbiased Estimator)すなわち最良線形不偏推定量であり、 最良線形不偏推定量は一致性を満たすということである。この定理により標準的仮定の下では最小二乗推定量が最も望ましい推定方法になる。

下記の条件で、回帰係数の最小二乗推定量は最小分散不偏線形推定量である †

I. 回帰式は係数と誤差項に関し線形である。
II. 誤差項の期待値は０である。 E( εi) = 0 （すべてのｉについて）
III. 独立変数は確率変数ではなく、従って誤差項との相関は０である。 E(Xki⋅εi) = XkiE(εi) = 0 （すべての k と i について） 
IV. 誤差項は互いに相関していない。（系列相関の欠如） E(εi⋅εj) = 0 （i = jを除くすべての ｉと jについて） 
V. 誤差項の分散は均一である。 Var(εi) = σ2(σ は定数) （すべてのｉについて） (2.5) VI. ｎ→∞ の時、∑=−niiXX12)(→∞ 

参考 †

英文　ガウス・マルコフの定理