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チェビシェフの多項式 †
Pafnuty Lvovich Chebyshev（1821 – 1894） †He was a Russian mathematician. His name can be alternatively transliterated as Chebychev, Chebyshov, Tchebycheff or Tschebyscheff (French and German transcriptions). One of nine children, Chebyshev was born in the village of Okatovo in the district of Borovsk, province of Kaluga. His father, Lev Pavlovich, was a Russian nobleman and wealthy landowner. 基本の多項式 †
ｎ＝１ のとき、 ｃｏｓ１θ＝ｃｏｓθ ｎ＝２ のとき、 ｃｏｓ２θ＝２ｃｏｓ2θ－１ ｎ＝３ のとき、 ｃｏｓ３θ＝４ｃｏｓ3θ－３ｃｏｓθ ｎ＝４ のとき、 ｃｏｓ４θ＝８ｃｏｓ4θ－８ｃｏｓ2θ＋１ ｎ＝５ のとき、 ｃｏｓ５θ＝１６ｃｏｓ5θ－２０ｃｏｓ3θ＋５ｃｏｓθ
ｎ＝２ ｃｏｓ２θ＝ｃｏｓ2θ－ｓｉｎ2θ＝ｃｏｓ2θ－（１－ｃｏｓ2θ）＝２ｃｏｓ2θ－１ ｎ＝３ ｃｏｓ３θ＝ｃｏｓ２θｃｏｓθ－ｓｉｎ２θｓｉｎθ ＝（２ｃｏｓ2θ－１）ｃｏｓθ－２ｓｉｎ2θｃｏｓθ ＝２ｃｏｓ3θ－ｃｏｓθ－２ｃｏｓθ＋２ｃｏｓ3θ ＝４ｃｏｓ3θ－３ｃｏｓθ ｎ＝４ ｃｏｓ４θ＝２ｃｏｓ2２θ－１ ＝２（２ｃｏｓ2θ－１）2－１ ＝８ｃｏｓ4θ－８ｃｏｓ2θ＋１ 任意の自然数ｎに対して，cosｎθはcosθのｎ次多項式で表されることが予想されます。 練習問題 †一般に、ｃｏｓｎθ を、加法定理を用いて展開した式において、ｃｏｓθ＝Ｘ として得られる 多項式を、チェビシェフの多項式という。通常、Ｔｎ（Ｘ） で表される。
cos（２π/７）＋cos（４π/７）＋cos（６π/７）＝－１/２の証明 †cos（２π/７） 、cos（４π/７） 、cos（６π/７） は、３次方程式 ８ｘ^3＋４ｘ^2－４ｘ－１＝０ の異なる３つの解である。 複素平面上に、方程式 Ｚ^7＝１ の７つの解を分布させる。円分7角形である。 このとき、 １＋ｚ＋ｚ^2＋ｚ^3＋ｚ^4＋ｚ^5＋ｚ^6＝０ が成り立つ。z=cos（２π/７）+ sin（２π/７） ここで、 ｚ と ｚ6 、 ｚ2 と ｚ5 、 ｚ3 と ｚ4 は互いに共役な複素数なので、 ｚ ＋ ｚ6 ＝ ２ｃｏｓ（２π/７） ｚ2 ＋ ｚ5 ＝ ２ｃｏｓ（４π/７） ｚ3 ＋ ｚ4 ＝ ２ｃｏｓ（６π/７） 合計してみよう よって、１＋２（cos（２π/７）＋cos（４π/７）＋cos（６π/７））＝０ より、 cos（２π/７）＋cos（４π/７）＋cos（６π/７）＝－１/２
（証明終わり）
正7角形の問題 †問題：方程式 x7-1=0 の解を1,α1,α2,α3,α4,α5,α6とおくとき、 (1-α1)(1-α2)(1-α3)(1-α4)(1-α5)(1-α6)の値を求めよ。
ニュートン法で ３次方程式 P(x) =８ｘ^3＋４ｘ^2－４ｘ－１＝０を解く †唯一の実数解の厳密解は、x=ｃｏｓ（２π/７）です。P"(x) = 48x + 8 なので少なくともx > 0 ではy = P(x) は下に凸です. 一般に(an, P(an)) における接線は y = 4(6an^2 + 2an − 1)x − 16an^3 − 4an^2 − 1 x 軸との交点のx 座標an+1 はan+1 =16an^3 + 4an^2 + 1 {an} はこの漸化式をみたし，初項をa1 = 1とでも与えて繰り返し計算できます。一般項がきれいな式で求まるわけではありませんが，電卓を使って数値計算するのは容易です. これが、ニュートン法です。 ｎ次のチェビシェフ多項式 Tn(x) †
Ｔ0（Ｘ）＝１ Ｔ1（Ｘ）＝Ｘ Ｔ2（Ｘ）＝２Ｘ^2－１ Ｔ3（Ｘ）＝４Ｘ^3－３Ｘ Ｔ4（Ｘ）＝８Ｘ^4－８Ｘ^2＋１ Ｔ5（Ｘ）＝１６Ｘ^5－２０Ｘ^3＋５Ｘ  That cos(nx) is an nth-degree polynomial in cos(x) can be seen by observing that cos(nx) is the real part of one side of de Moivre's formula, and the real part of the other side is a polynomial in cos(x) and sin(x), in which all powers of sin(x) are even and thus replaceable via the identity cos2(x) + sin2(x) = 1. This identity is extremely useful in conjunction with the recursive generating formula inasmuch as it enables one to calculate the cosine of any integral multiple of an angle solely in terms of the cosine of the base angle. Evaluating the first two Chebyshev polynomials Ｔ0（Ｘ）＝cos０X＝１ and: Ｔ1（cosＸ）＝cos１X＝cosｘ one can straightforwardly determine that: ｃｏｓ２θ＝ｃｏｓ2θ－ｓｉｎ2θ＝ｃｏｓ2θ－（１－ｃｏｓ2θ）＝２ｃｏｓ2θ－１ ｃｏｓ３θ＝ｃｏｓ２θｃｏｓθ－ｓｉｎ２θｓｉｎθ ＝（２ｃｏｓ2θ－１）ｃｏｓθ－２ｓｉｎ2θｃｏｓθ ＝２ｃｏｓ3θ－ｃｏｓθ－２ｃｏｓθ＋２ｃｏｓ3θ ＝４ｃｏｓ3θ－３ｃｏｓθ and so forth.
Ｔｎ（Ｘ） は、ｎ 次の多項式で、最高次の項の係数は、２ｎ-1であることが予想される。 ド・モアブルの公式により、ｉ を虚数単位として、 ｃｏｓ(ｎθ)＋ｉ・ｓｉｎ(ｎθ)＝（ｃｏｓθ＋ｉ・ｓｉｎθ）^ｎ 右辺は、２項定理を用いて展開すると、  となるので、両辺の実部を比較すれば次式  チェビシェフ多項式の解 †
実際に、方程式 Ｔｎ（Ｘ）＝０ となる Ｘ＝ｃｏｓθ は、ｃｏｓ(ｎθ)＝０ を満たす θ によって求められる。この三角方程式の一般解は、 ｎθ＝ｋπ－（１/２）π （ ｋ は、整数） なので、 θ＝（２ｋ－１）π/２ｎ （ ｋ は、整数） となる。 ｃｏｓθ は、偶関数であるので、相異なる ｃｏｓθ の値を与えるものとしては、 ｋ＝１、２、３、・・・、ｎ を代入して、 θ1＝π/２ｎ 、θ2＝３π/２ｎ 、θ3＝５π/２ｎ 、・・・、θn＝（２ｎ－１）π/２ｎ の ｎ 個存在する。これらが、方程式 Ｔｎ（Ｘ）＝０ の実数解 Ｘｎ＝ｃｏｓθｎ を与える。方程式 Ｔｎ（Ｘ）＝０ が必ず異なる ｎ 個の実数解を持つ 加法定理 †
チェビシェフの微分方程式と漸化式 †Chebyshev(チェビシェフ)多項式とは、Chebyshevの微分方程式  を満たす直交多項式。ここでｎは非負整数であり、α＝-1/2。 次の漸化式を満たすことが知られています。 Ｔｎ+1（Ｘ）= 2Ｘ・Ｔｎ（Ｘ）ーＴｎ-1（Ｘ） 応用例１：チェビシェフの多項式近似 †
応用例２：関数のチェビシェフ級数展開による数値積分 †補間，平滑化ルーチン †NUMPACには，データの与えられ方，及びそのデータに誤差が含まれるか否かにより，各々のルーチンが用意されている。先ず，データの与えられ方が，関数の形で与えられ，いかなる点における関数値でも計算できるときを関数入力と呼ぶ。この時はチェビシェフ補間のルーチンが良い。一方，データが離散点で与えられるときで，データに誤差はなく，又は小さいときは，スプライン補間がよい。誤差を含むときは，最小二乗近似ルーチンを用いるとよい。
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