パラメトリック励振

パラメトリック励起振動（励振）とは †

通常のバネ・ダンパー系やブランコなどの運動は、２階の線形微分方程式で表わされる。そして、その解はには、２つ固有値からなる振動モードと制動から、ステップ状の入力に対しては、大きく振れながら一定値に収束していく。しかしながら、ブランコで例えれば、外力を加え続けることで、揺れがおおきくなるような現象が現れる。このように、固有値を決めるパラメータに一定の変化を加えることで、振動をおおきくするような現象をパラメトリック励起振動という。

単振動の運動のモデリング †

糸の長さはLで一定とする。鉛直方向との角度をθとする。支点は（０，０）で動かない。

鉛直方向の力のバランスは、糸の張力をSとすれば

m d2y/dt2 =mg - S cosθ

水平方向の力のバランスは、

m d2x/dt2 = - S sinθ

cosθ＝y/L、sinθ＝x/L　を代入して、上の2式を整理すると

m d2y/dt2 =mg - S y/L
m d2x/dt2 = - S x/L

ここで　θが十分小さいと仮定する。cosθは１に近いのでy/L＝1　すなわちyはLに近似できる。またd2y/dt2＝0としてよい。 上側の式は０＝mg　- S に近似できる。これからS=mgを下側の式に代入して消去する。

 m d2x/dt2 = -(mg/L)x

mを両辺から消す

d2x/dt2 = -(g/L)x

これが横方向の運動方程式である。

書きなおすと

d2x/dt2 + (g /L)x =0

特性方程式は

F(λ)＝λ^2＋ω^2　但し　ω=√g/L

F(λ)＝0の解は、+iωと－iωなので、上記の微分方程式の解は

X(t)=Ae^(iωt)+Be^(-iωt). あるいはx(t)=Acostωt+Bsinωt

で表わされることになる。

パラメトリック励起振動のモデリング †

支点が上下方向にy0(t)のように、動く場合の単振動を考えよう。 鉛直方向の力のバランスは、糸の張力をSとすれば

m d2y/dt2 =mg - S cosθ　　　（１）

水平方向の力のバランスは、

m d2x/dt2 = - S sinθ　　　　（２）

である。 ただし。

X=Lsinθ
y(t)=y0(t) + Lcosθ

時間ｔの関数は、θ　と　y０　である これより,（１）式を　y0の運動に書き換える。

d2y/dt2 = d2(y0(t) + Lcosθ)/dt2＝d2y0/dt2+Ld2(cosθ)/dt2

d2(cosθ)/dt2＝d｛-sinθdθ/dt｝/dt＝ー｛cosθdθ/dt＋sinθd2θ/dt2｝であるので

d2y/dt2 = =d2y0/dt2-L｛cosθdθ/dt＋sinθd2θ/dt2｝

これを使って、m d2y/dt2 ＝mg - S cosθ を書き換えると、

m (d2y0/dt2-　L｛cosθdθ/dt＋sinθd2θ/dt2｝) ＝　mg - S cosθ　　　　（１）’

一方　（２）式をθの微分方程式に書き換える。

d2x/dt2 ＝L　d2(sinθ)/dt2　＝　-L　sinθ
m d2x/dt2 ＝　-mL　d{cosθ　dθ/dt}/dt＝-mL｛-sinθdθ/dt＋cosθd2θ/dt2｝　＝ - S sinθ

整理すれば

mL　｛-sinθdθ/dt＋cosθd2θ/dt2｝　＝ - S         (2)' 

上の式から、Sを求められる。(1)'にｓを代入して整理する。

m (d2y0/dt2-　L｛cosθdθ/dt＋sinθd2θ/dt2｝) ＝mg ＋mL　cosθ｛-sinθdθ/dt＋cosθd2θ/dt2｝

整理する。

(1/L)d2y0/dt2-cosθdθ/dt＋sinθd2θ/dt2 ＝g/L　+　｛-sinθcosθdθ/dt＋（cosθ）^2　d2θ/dt2｝

m (d2y0/dt2-　Lcosθ) ＝　mg ＋ mLcosθ　d2θ/dt2 

mを消去して整理

Lcosθ　d2θ/dt2 +g ＝ (d2y0/dt2-　Lcosθ)

これが、θとy0に関する運動方程式である。 θが、十分小さい時はcosθ＝１と近似して

d2θ/dt2 +g/L　＝(1/L）d2y0/dt2-１

d2x/dt2 + (1/L)(g+L - d2y0/dt2)x ＝ 0

あるいは

d2x/dt2 + (g/L)X ＝　｛(1/L)d2y0/dt2-1｝X

左辺は、自由単振り子の式であり、右辺は強制項とも考えられる。

d2y0/dt2が値をもつばあい、つまり支点が加速度運動をしていれば、重力加速度がg＋L - d2y0/dt2に従って変化するのと同じ。

y0(t)＝αsin２ωt　(L>>α>0)の場合 †

ブランコの角速度ω0の2倍の角速度で支点を上下させる場合を考える。

d2y0/dt2＝-4αω^2sin2ωt　なので、これを

d2x/dt2 + (1/L)(g - d2y0/dt2)x = 0

に代入する。

d2x/dt2 + (1/L)(g +4αω^2sin2ωt)x = 0

ω0=√g/L として

d2x/dt2 + (ω0^2＋４（α/L)ω^2sin2ωt)x=0
 (1/ω0^2)d2x/dt2 + (1+４（α/L)(ω/ω0)^2sin2ωt)x=0

以上より、パラメトリック励起振動の微分方程式は、次式で表される。

(1/ω0^2)d2x/dt2 + (1+４εsiin2ωt)x=0
ε=(α/L)(ω/ω0)^2   ω0=√g/L 

εが０の時が単振動である。