ファンド定理

１-ファンド定理 †

無リスク資産の貸し借りが許される場合、一意的に決まる効率的なファンドが、存在する。そして、任意の効率的ポートフォリオは、この資産ファンドFと無リスク資産との組み合わせることによって実現できる。

これが平均-分散ポートフォリオの最終的な定理とも言われるファンドの定理である。

リスク資産と無リスク資産の組み合わせの場合 †

無リスク資産の重みをwとし、リスク資産の重みは1-wとしよう。 平均E(r),分散σ^2の資産rと、一定利回りrfの無リスク資産のポートフォリオの収益率rpは、 共分散E[(r-E(r))(rf-rf)]=0となるので、

E(rp)=w・rf+(1-w)・E(r)
σp　=　(1-w)σ

となる。

これは、ダイアグラム上では、rfとrを結ぶ直線になる。

効率的ファンドを表す接点の求め方 †

リスク資産の実現可能集合上の1点であるポートフォリオrpと無リスク資産rfを結ぶ直線を考える。

この傾きを　角度αで表すとき、

tanα=[E(rp)-rf]/σp

である。 接点のポートフォリオはこの角度αを最大とする実現可能領域上の1点である。

E(rp)=ΣwiE(ri)であり、rf=Σwirfと書けるので

tanα=[Σwi(E(ri)-rf)]/[ΣΣσijwiwj]^(1/2)

ここでtanαを各wiに関して微分してゼロと置く。 この結果

Σσkj・λ・wi=E(rk)-rf　k=1～n

λは未知の定数である。 ここでvi=λwiとおいて

Σσkj・vi=E(rk)-rf　k=1～n

となるので、viを求めてそれを合計１になるように正規化すればwiが求められる。

wi=vi/Σvk

である。

練習問題 ：３つの無相関な資産のファンド定理 †

３つの互いに無相関な資産がある。どの資産も分散は１であり、その平均値はそれぞれ１，２，３であるとする。無リスク資産の収益率はrf=0.5とする。この時、次の問題を解け

• 1.効率的ファンドを表す接点を与える重みw1,w2,w3を求めよ。
• ２．無リスク資産とこの接点を結ぶ直線（ファンドと無リスク資産の組み合わせ）は、3資産でできる効率的フロンティアよりも、より良いことを図で示せ。