プロビット

プロビットとは：Probit †

プロビットとは、累積正規分布P=Φ(z)で確率Pを得たとき、その値を与えるZのことです。

プロビット関数とは、逆関数　Z=Φ -1(p)のことです。

よく知られるように、25%（p=0.25)では、Z=-1.96になります。

正規分布（N(0,1))の場合、平均が0、標準偏差が１です。値zが、-1.96以下が25%、区間-1.96から0に入るのが25%、0から+1.96が25%、1.96以上が25%の分布になっています。

ペストとプロビット分析 †

The probit function is the inverse cumulative distribution function (CDF). For the standard normal distribution (often denoted N(0,1)), the CDF is commonly denoted Φ(z). Φ(z) is a continuous, monotone increasing sigmoid function whose domain is the real line and range is (0,1). As an example, consider the familiar fact that the N(0,1) distribution places 95% of probability between -1.96 and 1.96, and is symmetric around zero. It follows that

Φ(-1.96)=0.25  .

the probit function is the inverse of Φ(z), denoted Φ -1(p).

The idea of probit was published in 1934 by Chester Ittner Bliss (1899-1979) in an article in Science on how to treat data such as the percentage of a pest killed by a pesticide.

2項応答モデルの回帰分析：Binary Response Model †

2通りの応答が考えられるとしましょう。たとえば、（好き,嫌い）とか（買う,買わない)の応答です。

商品を例にあげれば、重さと値段などの説明変数　xi,i=1～m　でこの応答を予測する場合、

Probit(p)=a0+a1x1+a2x2+a3x3+・・・・amXm

のように、「何割の人が応答するか？」を推定することがよくあります。

• このような分析をプロビット分析といいます。また、この回帰式で応答を予測するのをプロビット予測といいます。

代替案の比較分析：一対比較モデル分析 †

一対の代替案を提示して、どちらがよいか答える場合を想定しましょう。

• 住宅購入の場合は、広さ、通勤距離、日当たり、値段などがXiであらわせるでしょう。

各案は、特性(x1,x2,・・・,xm)であらわされるとして、案の良さ（効用)が、線形関数で表示されるとしましょう。

U(x)=　a0+a1x1+・・・・+amxm

A案とB案の効用の差は

Ua-Ub=a1(xa1-xb1)+a2(xa2-xb2)+・・・・・+am(xam-xbm)

効用の差に応じて、どちらかの案を選択するならば、

Probit(p)= Ua-Ub=a1(xa1-xb1)+a2(xa2-xb2)+・・・・・+am(xam-xbm)

というモデルが考えられます。

観測されたPj,(xa1j,Xb1j)・・・・(xamj,Xbmj),j=1～n　のデータを用いて、線形重回帰分析で モデルの未知パラメータ(a1,a2,・・・,am)と標準偏差σを推定すれば、モデル完成です。