ポアソンの定理

ポアソン分布 †

ポアソンの定理 †

二項分布がｎが十分大きいとき、ポアソン分布近似できる。（ポアソンの定理）

• pn を n とともに減少する 0<pn<1 なる実数とし、ｎ->∞のとき、pn-->λの時
  

何故か？ †

証明してみましょう

• nが非常に大きくて、ｐが小さい時は　

  np=λ

  と置いてみましょう。 (1-p)^n は、指数の定義から、下記のように近似できる。

  (1-p)^n=(1-λ/n)^n=EXP(-λ)

  二項係数は、

  nCk=n(n-1)....(n-k+1)/k!
     =1(1-1/n)...(n-(k-1)/n)n^k/K!
     =1(1-1/n)...(n-(k-1)/n)(λ/p)^k/K!

  である。 二項確率分布は、下記のように表現できる。

  P(n,k)=nCk p^k(1-p)^(n-k)
         =nCk p^k(1-p)^n(1-p)^(-k)
        =｛1(1-1/n)...(n-(k-1)/n)/K!(a/(1-p))^k (1-p)^n

• nが大きいと
  • 第1項は1/k!に近づく
  • 第2項はλ/(1-p)=λ/(1-p)=λ/(1-λ/n)なので、λ^kに近ずく。
  • 第3項はEXP(-λ)に近づく 以上より

n-->大きい時、二項確率分布　P(n,k)=nCk p^k(1-p)^(n-k)　はP(k,λ)=[λ^k/k!]EXP(-λ),λ=n/p　なる　ポアソン分布に従う。

例題 †

世界の航空機事故のデータによれば、「年間１千万回(n=10^7)のフライト数に対して、おおよそ10件の事故が発生している。」ようです。

• 問１．n=10^7、p=10^(-6)として、1年間にk回事故が起こる確率を、数式で表わせ。
• 問２．1年間に3回事故が起こる確率はいくらでしょうか。