マクローリン展開

マクローリン展開とは　Maclaurin expansion †

関数f(x)をマクローリン級数で表すことを、マクローリン展開(Maclaurin expansion) という。

マクローリン展開は、原点x=0の周りでのテーラー展開である。

マクローリン展開は、関数を　べき級数(x^n　の荷重和)の形　で近似したものである。

いまxが零の周りの十分小さい範囲で変化するものとして、f(x)の近似値をもとめるとする。

すぐ気付くのは、xが十分に小さいのですから

のようにf(x) を定数にしてしまうという近似だ。実際、場合によっては、これも十分に「使える」近似だと思われる。しかし、x が変化するときf(x) も変化するはずだから、そのことも取り入れた近似をした方がいいだろう。そこで、微分の定義式ででx0 を0 とおき、微少量dx をx とおくことで、

のように一次式で近似することです。、さらに、二次式、三次式と多項式の次数を上げながら、よりよい近似を作っていくことができるはずだ。そこで、ためしに

のような（べき級数の形の）近似があると仮定する。係数a0, a1, a2, . . . をどうやって決めればいいかを考えよう。

まず、x=0を代入してみれば　a0=f(0)が得られる。
つぎに、1階微分を行う。
ここで　x=0　を代入すれば再び右辺はほとんど消えて、f'(0) = a1 が得られる。こうして、a0, a1 は前に書いた　一次近似と一致するように決まった。
さらにもう1階微分すれば、x=0を代入して　f"(0)=2・a2　から　a2=f"(0)/2　が得られる。これで2次式でx=0に近いxが近似できた。
同様に、何回も微分して　x=0　とおいて、係数を求めることができる。

この考えで、うまくいくことを、一般形で示そう。まずxのm乗のn回微分は、下記のようになる。

これは、繰り返し微分することで理解できるでしょう。特に、xのn乗のn回微分は、n！です。ここで、前の係数anの付いた近似式をn回微分してみると　n − 1 番目までの項が消えて、

のようになります。ここでx = 0 とすれば、今度はn+1 番目よりあとの項が消えて、

f^n(0)=n!・an

となるので、係数anは字式で決定できる。

これを　前の近似式に代入することで、マクローリン展開が得られる。

テーラー展開は、x=0の周りの近似のマクローリン展開と異なる。しかしx=x0の周りでの近似であるので、この場合と同様である。微分する場所がx=x0であること、f(x)がf(x-x0)であることであるので、

xの代わりにx-xoを
fの原点でのn回微分 f^n(0)の代わりに f^n(x0)

マクローリン展開に代入すれば、テーラー展開式が求められる。