ラグランジェの方程式

オイラーの方程式とも呼ばれる †

オイラーの方程式のページに記載してある。変分法では、オイラー・ラグランジェの方程式として知られている。

2重振り子のラグランジェの方程式 †

図のように長さL1 とL2 の糸の先に，質量がそれぞれm1 とm2 の質点をつるした系（２重振子）を考える．

(a) 重力加速度をg として，この系のLagrangean を書き下し，Euler-Lagrange の運動方程式を求めよ．
(b) 振幅の小さい微小振動の場合についてこの系の基準振動数を求めよ．

• 重り1,2 のy 軸に対する角度をθ1, θ2 とする．重り1 の位置G1 の座標(xG1, yG1) 及びその速度VG1は

  xG1 = l1 sin θ1
  yG1 = −l1 cos θ1
  VG1 = lθ'

• 重り2 の位置G2 の座標(xG2, yG2) 及びその速度VG2 の2 乗は

  xG2 = l1 sin θ1 + l2 sin θ2
  yG2 = −l1 cos θ1 − l2 cos θ2
  VG2^2=(l1 θ˙1 cos θ1 + l2 θ˙2 cos θ2)^2 + (l1 θ˙1 sin θ1 + l2 θ˙2 sin θ2)^2
       = (l1θ˙1)^2 + (l2θ˙2)^2 + 2l1l2 θ˙1 θ˙2 cos(θ1 − θ2)

• 重り1 の運動エネルギーT1 及び位置エネルギーU1 は

  T1=1/2m(l1θ˙1)^2
  U1 =−m1gl1 cos θ1

• 重り2 の運動エネルギーT2 及び位置エネルギーU2 は

  T2 =1/2m2[(l1θ˙1)^2 + (l2θ˙2)^2 + 2l1l2 θ˙1 θ˙2 cos(θ1 − θ2)]
  U2 = −m2g(l1 cos θ1 + l2 cos θ2)

• この2 重振り子のラグランジュ関数L は，

  L = T − U= (T1 + T2) − (U1 + U2)

• ラグランジュ関数L からθ1 θ2 に関するラグランジュ運動方程式をたてるには以下の関係式 を用いればよい．
  
• これを解くと、θ1，θ2 に関するラグランジュ運動方程式が得られる。
  

基準振動数 †

ｎ個の振動子からなる連成振動ではその運動方程式はｎ個の連立線形常微分方程式となり，その解は一般に個の単振動の合成として表される。その単振動を基準振動 ，またその振動数を基準振動数という。この例題の場合は振動子２個ゆえ，２個の基準振動の合成となる。

• 微小震動の場合、sinθ=θ、cosθ＝１と近似してみる。また、２次の項を省略して、線形近似の運動方程式をたてる。解析解が求まる：2 つの基準振動の和であらわされる