ラグランジュの未定乗数法

ラグランジュの未定乗数法 †

n変数関数：　f(x1,x2,･･･,xn)　が拘束条件：g(x1,x2,･･･,xn)＝0　のもとで極値をとる必要条件は，適当なλを変数に加えた(n+1)変数関数：

　　　　　L(x1,x2,･･･,xn,λ)＝f(x1,x2,･･･,xn)＋λg(x1,x2,･･･,xn)

が極値をとること。

拘束条件が，g1(x1,x2,･･･,xn)＝0，･･･，gm(x1,x2,･･･,xn)＝0，と m 個ある場合は，適当なλjを変数に加えた(m+n)変数関数：

　L(x1,x2,･･･，xn,λ1,･･,λm)＝f(x1,x2,･･･,xn)＋λ1g1(x1,x2,･･･,xn)＋･･･＋λmgm(x1,x2,･･･,xn)

が極値をとること。(ただし，m＜n )

四角形の面積を f(x,Y) ，楕円に内接するという拘束条件を g(x,y)=0 とおきます。

f(x,y)=4xy
g(x,y)=(x/a)^2 + (y/b)^2 -1= 0

ラグランジェ関数　L(x,y,λ)は

L = f(x,y)+λ・g(x,y)=4xy+λ・{(x/a)^2 + (y/b)^2 -1}

なので、次の三式を x , y , λ を独立変数のように見なしてLをそれぞれで偏微分して０と置き、連立すればよいだけです．

4y+ λ・2x/a^2=0
4y+ λ・2y/b^2=0
(x/a)^2 + (y/b)^2 =1

連立して解けば

x=a/√２　y=b/√２　λ＝-2ab

そこで　最大面積　Smax＝2ab　（x=a/√２　y=b/√２の時）を得ることができる。