ラプラス変換

ラプラス変換とは：Laplace transform †

ラプラス変換とは、時間tの関数f(t)が時刻0以降で与えられている時、次の変換によって定義される関数F(S)を積分によって求めることである。積分区間は零から無限大である。 Sは複素数であり、時間領域の実関数f(t)の複素領域の複素関数F(S)への変換である。

The Laplace transform of a function f(t), defined for all real numbers t ≥ 0, is the function F(s), defined by:

F(S)=L{f(t)}=∫Exp(-st)f(t)dt　

The parameter s is a complex number:

S=σ＋iω
with real numbers σ and ω.

確率論とラプラス変換 †

Xの確率密度関数がf(x)の場合、fのラプラス変換は、exp(-sx)の期待値とみなせるので、sを-tに置きかえれば、xのモーメント生成関数と見ることができる。そこで、マルコフ過程や取り換え理論のような確率過程に用いられる。

Laplace transform is defined by means of an expectation value. If X is a random variable with probability density function ƒ, then the Laplace transform of ƒ is given by the expectation

　(Lf)(s)=E[exp(-sx)]

By abuse of language, this is referred to as the Laplace transform of the random variable X itself. Replacing s by −t gives the moment generating function of X. The Laplace transform has applications throughout probability theory, including first passage times of stochastic processes such as Markov chains, and renewal theory.

ラプラス変換の性質 †

Laplace_transform