倒立振子

倒立振子の運動方程式 †

ポテンシャルエネルギUと運動エネルギKは，

m：重りの質量
L：振子の長さ
q：振子の角度
t：振子に加わるトルク（今回は無視する）
M：台車の質量
x：台車の変位
f：台車に加わる力
g：重力加速度

のパラメータを用いて表現できる。台車の位置からの高さはLcosθなので

U=mg・高さ＝mgLcosθ
K=1/2・M・速度^2　＋　1/2・m・速度^2
 =1/2・M・(dx/dt)^2　＋　1/2・m[(d/dt(x+Lsinθ))^2＋＋(d/dt(Lcosθ))^2]
総エネルギー　T=　U + K　・・・・・・・・・・ラグランジェ関数

となる。

これに　ラグランジェの方程式を適用

d/dt(∂T/∂x')-∂T/∂x=0
d/dt(∂T/∂θ')-∂T/∂θ=0

上の２式に、U,Kの式を代入して　x　と　θ　について解くと、2次の連立微分方程式を得る。

(M+m)x''＋　mLcosθ・θ'＋　mLsinθ・(θ')^2　＝　f
mLcosθ・x''＋M・L^2・θ''-mgLsinθ　　　　　＝　0

振子系は振子と台車の２つの質点から構成されることから n=2 であり，一般化座標として q1=x，q2=θとしている。また，振子系に作用する外力は台車を駆動する力 f のみであるので，一般化力はτ1=f， τ2=0 となる。

まず，上式に対して平衡点(時間に関する微分項をすべて０)を求めると sinθ=0, f=0 が得られる。これより振子系の平衡点はθ=0,πであることがわかるが，本制御目的は振子を安定に立たせることであるので，平衡点θ=0 が議論の対象となる。

この平衡点から振子の角度θが微小に変動した場合を考えると，sinθ=θ,cosθ=1と近似して、かつ振子の変動角速度も同様に緩やかであると仮定すると，その２乗の項は無視してよい。

(M+m)x''＋　mLθ' ＝　f
mLx''＋M・L^2・θ'' ー　mgLθ＝　0

これに対して，状態量 x を　x=(x,θ,x',θ')なる列ベクトルとすると

x'= A x + F　　　・・・・状態方程式
y=H x　　　　　　 ・・・・観測方程式

が導出できる。