分散

分散（ぶんさん、variance） †

確率論において、確率変数の2次の中心化モーメントのことで、確率変数の分布が期待値からどれだけばらけているかを示す値。 統計学においては、確率変数の分散だけでなく、標本が標本平均からどれだけばらけているかを示す指標として標本分散が用いられる。

標本分散 †

n 個のデータ x1, x2, …, xn からなる標本があって、E(x) をそのデータの相加平均とした時に、平均との差の二乗和　(E(x) - xi)^2 の平均を

V(x) = ∑(E(x) - xi)^2

を標本分散 (sample variance) という。 定義より

V(x) = E(x^2)-E(x)^2

となるから、標本分散は、理論的には2乗の平均から平均の2乗を引いた値に等しい。したがって、手計算などではこの式による分散の計算が簡便でよい。

共分散：covariance †

共分散（きょうぶんさん、covariance）とは、2 組の対応するデータ間での、平均からの偏差の積の平均値である。

二組の確率変数X,Yの共分散Cov(X,Y)は、Eで期待値を表すことにして

Cov(X,Y)= E[(x-E(x))(y-E(y)]

で定義される。

共分散の計算 †

Cov(X,Y)をσxyで表わすとしよう。

σxy=E[(x-E(x))(y-E(y)]
            =E[xy-yE(x)-xE(y)+E(x)E(y)]
            =E(xy)-E(x)・E(y)

また

σxx=E(x^2)-E(x)^2

ｎ個の確率変数の荷重和の平均と分散 †

確率変数x1,x2,・・・・,xnがあるとしよう。 荷重和を次式であらわす。

y=Σwixi

これの平均と分散を求めよう。

E(y)=E(w1x1+w2x2+・・・・+wnxn)
    =w1E(x1)+w2E(x2)+・・・+wnE(xn)

簡単のため、平均をμi=E(xi)で表わすことにしよう。

E(y)=Σwiμi

yの分散は、次式で表わされる。

E[(y-E(y))^2]=E[(Σwixi-Σwiμi)^2]
            =E[{Σwi(xi-μi)}^2]

ここで

(Σai)^2=ΣΣaiaj　i=1,n j=1,n

であるので

            =E[ΣΣwiwj(xi-μi)(xj-μj)]
            =ΣΣwiwjE[(xi-μi)(xj-μj)]

共分散をσij＝E[(xi-μi)(xj-μj)]であらわせば、yの分散は、次式で表わされる。

E[(y-E(y))^2]=ΣΣwiwjσij  i=1,n j=1,n

となる。