指数平滑移動平均

指数平滑移動平均とは †

定数 r (0<r<1)をとり、i 日前の観測値S(i)に r^i を掛けて加重平均を取ったものを指数平滑移動平均という（面倒なので、以下 「指数平滑平均」 と書く）。 現在t=0から、N期前までの指数平滑平均を E(0,N) とすると、形式的には次の式で表せる。

E(0,N)=Σri^iS(i)/Σr^i　Σはi=0,Nの合計

漸化式 †

性質；指数平滑平均では、当日の平均値は、前日の平均値と当日の観測値の間にある。 十分過去までとれば　Σr^i=1/(1-r)より

E(0,∞)=(1-r)Σri^iS(i)　　　　ただしΣは0=1~∞
      =(1-r)S(0)+(1-r)Σr^iS(i)　ただしΣはi=1~∞
      =(1-r)S(0)+r(1-r)Σr^iS(i+1) ただしΣは0=1~∞

ゆえに

 E(0,∞)=(1-r)S(0)+rE(1,∞)

が成り立つ。

このことから、上記の性質が解る。

各 Si は、平均 m、分散 σ^2 の確率変数で、互いに独立であるとすると、E(0.∞)の期待値と分散は

E(0.∞)の期待値=m
E(0.∞)の分散　=σ^2(1-r)/(1+r)

である。

資本市場のn日指数平滑平均 †

指数平滑平均の定数 r については、ちょっと奇妙な約束事がある。 r を次のように選んだとき、「 n日指数平滑平均」 と呼ぶのである。

r=(n-1)/(n+1)

たとえば、20日指数平滑平均とは、r = 19/21 のものを指す。