指数関数・オイラー数

ネイピア数：オイラー数 †

• 文字 "e" による表記は、オイラーによるものである。オイラーは、指数関数 y=a^x が

dy/dx=y

を満たすとき a = e であることや、1/x の積分として定義された自然対数の底でもあることを示した。従って一般には自然対数の底と呼ばれることが多い。

e = exp(1) の素朴な求め方 †

• 定義式から
  

右辺は、ヤコブ・ベルヌーイによって、利子の複利計算との関連で言及されたものである。オイラーは、導関数がもとの関数と等しい指数関数の底が、上の等式の右辺によって求まることを示した。

• 積分公式から
  
  ゼロから１の間でオイラー法で積分を行う。キザミ巾を小さくすれば近づく。

オイラー法とは：Euler's Method †

微分方程式の数値積分計算法

• オイラー法で微分方程式 dy/dx=axy（a は任意の定数）を解くプログラムを作ってみましょう。初期値とaの値を入れたら後はオイラー法でひたすら数値積分していきます。その手順は、

1.あるxでの傾き（dy/dx）を求める。これは、axyにその時点でのx, yを代入して計算するだけ。 
2.ある一定の幅でxを増やし１に戻る。

• オイラー法（ーほう）(Euler's Method) とは、1階常微分方程式の数値解法の一つ。

1階常微分方程式と初期値x0,y0(=Y0)が与えられた場合に、x(n)=x(n-1)+h対するy(n)の近似値Y(n)は、以下のようにあらわされる。（ここでhは、0<hで小さい数である。）

Y(n) = Y(n − 1) + hf(x(n − 1),Y(n − 1)) 
（n=1,2,3,...）

オイラー公式：世界で最も美しい公式 †

• 指数関数は、マクローリン展開して、

  ｅ^x=1+x+(1/2!)x^2+(1/3!)x^3+(1/4!)x^4…

と表せます。これにx=iθ（iは虚数単位）を代入すると、途中は飛ばしますが、 オイラーの定理

e^(iθ)＝cosθ+i・sinθ

が導かれます。さらにこれにθ＝πを代入すると、e^(iπ)＝－１となります。 変形するとオイラー公式が得られます

e^(iπ)+１＝0　

• 数学の上で特に興味深い五つの数「e、π、i、0、1」が、ひとつの式で表わされています

オイラーの定理；導出 †

歴史的にはオイラーはド・モアブルの定理を使って証明したようです。 ド・モアブルの定理から

(cosθ+isinθ)^n ＝ cos(nθ)+isin(nθ)
(cosθ-isinθ)^n ＝ cos(nθ)-isin(nθ)

なので、

cos(nθ)=[(cosθ+isinθ)^n+(cosθ-isinθ)^n ]/2

となります。θ＝x/n　としnを非常に大きな数とすると、

cosθ=cos(x/n)=cos0=1,sinθ=sin(x/n)=x/n

となるので、

cosx＝cos(nθ)
　　＝[(cosθ+isinθ)^n+(cosθ-isinθ)^n ]/2
　　＝[(1+ix/n)^n+(1-ix/n)]/2

と変形できます。 nは非常に大きいという特徴を使うとネイピア数eは定義から、

　　e^x=(1+x/n)^n

なので,xをix、－ixに置き換えて先ほどの式に代入すると、

cosx＝[e^(iθ）+e^(-iθ)]/2

を示せる。同様に計算すると、

sinx＝[e^(iθ）-e^(-iθ)]/2i

なので、

cosx+isinx＝[e^(iθ）+e^(-iθ)]/2＋i[e^(iθ）-e^(-iθ)]/2i＝e^(iθ）

で、導けました。