曲率

曲率とは curvature　 †

曲線の曲がっている度合いを表す数。曲線上の隣接3点を通る円の半径、すなわち曲率半径の逆数として定められる。直線は曲率ゼロであり、曲線は曲率が大きいほど曲がり方が大きい。

平面上の曲線y=f(x)に対して、f(x)が2回微分可能であるとするとき、この曲線上の点P0(x0,y0)と曲線上の隣接する2点を通る円（曲線上にP0と異なる点P1、P2をとり、P0、P1、P2を通る円をつくって、P1、P2をP0に近づけたときの極限の円）をP0における曲率円という。その半径の逆数が曲率。

この値はｙ″の正負によって正、または負となるが、曲率が正とはｘが増加するとき曲線が左側（すなわち正の方向）に曲がっていくこと、負とは右側に曲がっていくことを意味する。

曲率は、また、P0とその近くの点Ｐとにおける接線のなす角をθ、P0とPの間の曲線の弧の長さをΔｓとして、

κ　=　lim(p->p0)　θ/Δｓ

という式で与えることもできる。曲率は曲線の形状を特徴づける数である。 一般に κを曲率、κの逆数 を曲率半径と言う。

• The meaning of curvature

Suppose that a particle moves on the plane with unit speed. Then the trajectory of the particle will trace out a curve C in the plane. Moreover, taking the time as the parameter, this provides a natural parametrization for C. The instantaneous direction of motion is given by the unit tangent vector P and the curvature measures how fast this vector rotates. If a curve keeps close to the same direction, the unit tangent vector changes very little and the curvature is small; where the curve undergoes a tight turn, the curvature is large.

• For a plane curve given parametrically as c(t) = (x(t),y(t)), the curvature is
  
  For the less general case of a plane curve given explicitly as y = f(x) the curvature is
  
  If a curve is defined in polar coordinates as r(θ), then its curvature is
  

where here the prime refers to differentiation with respect to θ.

曲率半径　the radius of curvature †