素数定理

素数定理とは †

• ウィキペディアによれば
  • 素数定理（そすうていり、Prime number theorem）とは自然数の中に素数がどのくらいの「割合」で含まれているかを述べる定理である。素数が自然数の中にどのように分布しているのかという問題は整数論において基本的な関心事であるが極めて難しく、2007年現在でも解明されていない部分も多い。この定理はその問題について重要な情報を与える。
• ガウスが予想したので、ガウスの素数定理とも呼ばれる。

素数定理 †

π(x) は素数の個数関数または素数計数関数（prime counting function）で、x 以下の素数の個数を表すと定義すると、

• π(x)＝Li（ｘ） Li(x) は（補正）対数積分（logarithmic integral）で、次の積分で定義される
  

簡単表現 †

• 上の式は、右辺を1回積分することで、x / lnx で近似できるということがわかるので

  π(x)＝Li（ｘ）～x/logx

• この定理は、1792年に15歳のカール・フリードリッヒ・ガウスによって予想されていたものである（ガウスが最初に予想したのかどうかは不明）。この定理の証明は、ゼータ関数と複素関数論を用いる高度なものであったが、1949年にアトル・セルバーグとポール・エルデシュは独立に初等的な証明を与えた。この評価式はリーマン予想を仮定すると大幅に精度をよくすることができる。

オイラーの発見:オイラー公式 †

オイラーの発見した式、f(n) = n2 + n + 41 は、n = 0, …, 39 において全て素数となる。

• この公式はｎ＝０のとき素数４１、ｎ＝１で素数４３、ｎ＝２で素数４７を与えます。このようにしてｎが０から３９までのどのｎをとってもオイラーの公式はすべて素数を与えます。
• オイラーの公式はｎ＝４０で破綻します。しかし、１０００万以下のｎに対して４７．５％の確率で素数を生成します。

ウラムのらせん †

ウラムは自然数を四角いらせん状に配列させるとｎ2 ＋ｎ＋４１型の素数の多くはその対角線上に分布していることを確認しました。ランダムに分布しているように見える素数が四角い渦巻きの対角線上に規則的に分布していたことを発見。

• セルオートマトンはもともと1940年代末に生物の自己複製機能を摸擬するために、数学者のウラムとフォン・ノイマンによって提案されたものです。ウラムはモンテカルロ法という計算機シミュレーション法を開発したことで知られています。また彼は水素爆弾の製造にもかかわりました。

[Math]UralPrimeSpiral? | [Book]メモ> 2006-09-16 ウラムの螺旋 Math

自然数を次のように並べると，何故か素数が一列に出てくる

17 16 15 14 13 
18  5  4  3 12 
19  6  1  2 11 
20  7  8  9 10 
21 22 23 24 25 

• Prime Spiralの作り方

ガウスの予想 †

• ガウスは、「素数はどのような規則で現れるか」ということを考え、素数定理を予想しました（１７９２年：ガウスは当時１５才であった）。素数定理とは、 π（ｘ）～ｘ／ｌｏｇｘ　　　（ｘ→∞）
• ”～”記号は漸近的に等しい、すなわちｘが十分大きいとき両者の比が１に近づくという意味であって、両者の差がなくなるという意味ではありません。いいかえれば、この近似式の絶対誤差はｘの増大とともに増大するが、相対誤差は減少する、つまり、左辺と右辺の比はｘを∞にすると極限が存在して０でも無限大でもなく、１に収束するということ。

何の意味？ †

ｘに近い２つの連続した素数間の平均距離はおよそｌｏｇｘだといえる。

チェビシェフの発見 †

• １８５０年に、ロシアの数学者チェビシェフは任意の数ｎと２ｎの間には少なくとも一つの素数ｐが存在する（ｎ＜ｐ≦２ｎ）ことを発見。つまり素数ｐの次の素数は２ｐより小さい（ｐk+1 ＜２ｐk ）という定理を発見しました。この証明の発見は１８才のときだそうです。天才的ですね。
• さらに、チェビシェフは１８５２年に、十分大きなｘについてπ（ｘ）／（ｘ／ｌｏｇｘ）が０．９２１２９と１．１０５５５の間にあるという結果を得ています。（オイラーによって１７４０年に考案されたゼータ関数を利用した。）

証明された！　1896年 †

• ガウスの予想から約１００年後の１８９６年、フランスの数学者アダマールとプーサンは、同じ年に独立に、リーマンによって複素数まで拡張されたゼータ関数を用いてガウスの素数定理を証明しました。
• 証明までに、100年あまり必要でした。

エレガントな証明でフィールズ賞：1949年 †

• 長い間、素数定理の証明には複素解析的な方法を使用することが避けられないと信じられていましたが、１９４９年、フィールズメダリストのセルバーグとさすらいの数論家エルデスは独立に複素解析関数の理論を使わない初等的な方法で素数定理を証明し、当時の数学界を大いに驚嘆させました。セルバーグはこの功績によりフィールズ賞（４年に一度開かれる世界数学者会議で数学の著しい研究に対して与えられる賞で、数学界のノーベル賞ともいうべきものである）を受賞しています。

素数の生成式：フェルマー素数 †

Ｆn ＝２2^n＋１の形の素数をフェルマー素数と呼ぶ。
Ｆ0 ＝３，Ｆ1 ＝５，Ｆ2 ＝１７，Ｆ3 ＝２５７，Ｆ4 ＝６５５３７２５７は素数

• フェルマーの勘違い！であってn=5は実は素数でなかった。

参考 †

• 素数の神秘