線形空間

線形空間 †

いわゆる和や係数倍が定義された空間であり、ベクトル空間は線形空間である。また係数体が複素数のときは、線形複素空間とよぶ。係数体が実数の場合は実空間とも呼ぶ。

• 線形空間の定義： 係数体Ｋ＝Ｃ(複素数の全体)，またはＫ＝Ｒ(実数の全体)とする．集合Ｖが x,y,z∊Ｖ および α,β∊Ｋ に対して次の条件を満たしているとき，ＶをＫ上の線形空間(linear space)，あるいはベクトル空間(vector space)という．

  (1) x＋y＝y＋x　　(交換則)
  (2) x＋(y＋z)＝(x＋y)＋z　　(結合則)
  (3) すべての ｘ∊Ｖ に対し，x＋0＝x が成り立つベクトル 0 がただ一つ存在
  (4) すべての ｘ∊Ｖ に対し，x＋x'＝0 が成り立つベクトル x' がただ一つ存在
  (5) 1x＝x
  (6) α(βx)＝(αβ)x
  (7) α(x＋y)＝αx＋αy
  (8) (α＋β)x＝αx＋βx

  • 係数体Ｋ＝Ｒでの線形空間をとくに実線形空間(real linear space)，または実ベクトル空間(real vector space)といい，Ｋ＝Ｃのとき複素線形空間という．

線形結合とは †

線形空間Ｘ上の有限個の元 x1,x2,・・・,xn に対し，

a1x1＋a2x2＋・・・＋anxn　　(ak∊Ｋ)

を x1,x2,・・・,xn の線形結合(linear combination)または一次結合という.

線形独立，線形従属とは †

Ｋ上の線形空間Ｘの有限個の元 x1,x2,・・・,xn について，

a1x1＋a2x2＋・・・＋anxn＝0

を満たす ak (k＝1,2,・・・,n) が

a1＝a2＝・・・＝an＝0

だけであるとき，x1, x2,・・・, xn は線形独立(linear independent)，または一次独立であるという．

空間の次元とは †

ｎ次元の線形空間とは、 有限次元の線形空間Ｘが０以外の元を持ち，Ｘの中に一次独立なｎ個の元が存在するとき，Ｘのいかなる n＋1 個の元も一次従属となるならば，Ｘはｎ次元であるという

同型写像とは †

２つの線形空間ＸとＹで，ＸからＹへの線形写像φが存在し，φがＸからＹの上への１対１写像であるとき，ＸとＹは同型(isomorphism)であるという．また，この φ を同型写(isomorphism,isomorphic mapping)という

一般の数列や線形差分方程式の解の数列は？ †

Ｘ＝{ｘ | 収束する数列 x＝(ξn)，(n=1,2,...)} として，Ｘにおける加法およびスカラー乗法を成分ごとの和および定数倍として定義すればＸは線形空間となる

距離が定義された空間：距離空間 †

距離空間と距離関数 空間Ｘの点 x,y,z に対して，Ｘ×Ｘ上の実数値関数d(x,y)が存在して，以下の距離の公理を満たすものとする

(1) d(x,y)≧0
(2) x＝y のときにのみ d(x,y)＝0
(3) d(x,y)＝d(y,x)
(4) d(x,y)≦d(x,y)＋d(y,z)

このとき，d(x,y) は x と y の距離(distance)または距離関数(distance function)といわれ，このようなｄが定義される空間を距離空間(metric space,distance space)といい，(Ｘ,d)などと表される．

• ベクトル空間に、距離d=SQRT(x'x)を定義すれば、線形距離空間になる。