練習問題

需要と収益最大化 †

• １）需要曲線（需要量x個と価格p円/個の関係式)がP=ax+b（a<0)で表わされるとする。また総費用は、総費用Cは、固定費Cfと変動費の合計C=Cf+αx　で表わされるとする。αは一個当たり変動費。この時利益を最大にする需要量xを(a,b,α)を用いて表わせ。

• 2)ある製品を製造するのに固定費として4,000,000円、変動費として600円/個の費用が発生する。長年の経験から、この製品の期待需要x(個）は、設定価格をP（円）としたときに、式 x=-50*P+90000で近似できることが分かっている。収益を最大化するような価格は何円／個か。
  • 参考

    P=a*x+b :需要xと価格pの関係式とする
    総費用Cは、固定費Cfと変動費の合計
    C=Cf+α*x　但し,αは1個当たり変動費(一定）
    この場合　収入＝p*x　で　総費用が上式なので、
    利益Rを、需要量xの関数で表現する
    R=P*x- (Cf+α*x)
        =(P-α)*x　-　Cf
        =(a*x+b-α)*x　-　Cf
    利益を最大にする需要量は、dR/dX=0　となるXであるので
    dR/dX=0となるXを求めればよい。

収益率の問題 †

• 1)案件Aは100億円投資して、その後毎年20,20,20,52億円のフリーキャッシュフロー(FCF)を得られる。案件Bは当初100億円投資して、その後毎年3,3,3,3,103億円のFCFを得られる。割引率５％として、それぞれの現在価値を計算せよ。どちらの現在価値が高いか。
• 2)当初P円の資本投下をして、n年間で回収を終了するためには毎年いくらの純収益(FCF)が必要か。毎期末に定額M円の収益として、このMをPと金利iで表わせ。
• 3)案件Aの内部収益率をニュートン法の漸化式で示し、計算せよ。
  • 参考

    1)割引率をｒ=0.05とすると、現在価値PVはそれぞれ
    Pva=-100+20(1+R)^(-1)+20(1+r)^(-2)+20(1+r)^(-3)+52(1+r)^(-4)
    Pva=-100+3(1+R)^(-1)+3(1+r)^(-2)+3(1+r)^(-3)+3(1+r)^(-4)+103(1+r)^(-5)
    これを比較すればよい。
    ２）は、資本回収率の問題であり、http://tokyox.matrix.jp/wiki/　の資金係数
    毎期末に定額M円を回収する場合のキャッシュフローの終価が、Pの資金を複利で
    n年運用した場合のn年後の元利合計額と一致するとの等式から求められる。
    3)ニュートン法の漸化式は次式である。
    f(r)==-100+20(1+R)^(-1)+20(1+r)^(-2)+20(1+r)^(-3)+52(1+r)^(-4)=0
    を解くには、f(r)/f'(r)を事前に計算して,初期値をr0=？（解に近そうな値）として
    r1=r0-f(r0)/f'(r0)
    r2=r1-f(r1)/f'(r1)など数回繰り返して、近似解を求める。

最小二乗法 †

いま、観測してデータが(x1,y1),(x2,y2),・・・,(xn,Yn)を得た。これを1次方程式(モデル)　y=ax+b+e で表わしたい。eは測定誤差の確率変数とする。このとき誤差は ei=yi-(axi+b)　i = 1, ..., n で表わされる。

• １）誤差の平方和を最少にするように、a,bの係数を求めよ。
• 2)この一次方程式を、標本平均μx、μy、標準偏差σx、σy、共分散σxyで表わせ。
• 3)　∑ei^2と∑yi^2と∑(yi*)^2の間に、どのような関係式があるか。但し、yi*は、誤差平方和を最小にするパラメータを用いて得られyiの推定値yi*=axi+b　である。

このwikiの、平均、分散、相関係数、ピタゴラスの定理、最小二乗法を参考に解け。

収益率の平均と分散 †

正5角形のサイコロを2回投げるとする。１から５の目があり、試行は独立である。出た目をxとするとき、x*10％の収益率があると仮定しよう。例えば４の目がでれば、収益率r=0.4である。この時、次の問題に答えよ。

• １）1回の試行の収益率の期待値と分散を求めよ。
• ２)掛け金は1万円であり、開始前に1回目と2回目の掛け金をそれぞれw・1万円、(1-w)・1万円を決めるとしよう。この時、トータルの期待収益率の期待値と分散を式で表せ。
• ３)分散を最小にするには、どのような割合wで掛ければ良いか？。
  • 参考

    1)サイコロの目の値x（１から５）の出る確率は1/5なので、
    1回の試行の収益率の期待値E(R)は
    E(R)=Σ(1/5)(0.1X)=(1/5)(0.1+0.2+0.3+0.4+0.5)=？
    V(R)=Σ(0.1x-E(R))^2=Σ(0.1x)^2-E(R)^2=？　を計算すればよい。
    2)１回目の収益率R1と２回目の収益率R2とすれば、総収益率Rx=wR1+(1-w)R2を求める問題
    独立な同一の試行なので、各回の収益率E(R1)=E(R2)=E(R)
    総収益率の期待値は、E(Rx)=wE(R1)+(1-w)E(R2)=E(R)となる。
    分散は、V(Rx)を同様に計算すればよい。独立なので共分散は０。

最小分散ポートフォリオ †

n個の資産が市場に存在し、それらの収益率の期待値をE(ri),i=1~nとし、共分散をσij,i,j=1~nとする。これらの上でポートフォリオを構築する時、期待値E(r)=ΣwiE(ri)が一定のもとで、その分散を最小化するポートフォリオを最小分散ポートフォリオと呼ぶ。３つの互いに無相関な資産がある。どの資産も分散は１であり、その平均値はそれぞれ１，２，３であるとする。この時次の問題を解け。

• １) ポートフォリオの分散はV(rp)=E[(rp-E(rp)^2] で定義される。rp=Σwi・riの時、分散はV(rp)= ΣΣwiwjσij　i,j,=1～ｎ　であらわされることを計算で示せ。ただし、σijはi資産とj資産の共分散
• 2) ３つの互いに無相関な資産のポートフォリオの最小分散点を求め。
• 3) ３つの互いに無相関な資産の効率的フロンティアを表す式をポートフォリオrの標準偏差σとE(r)の関係式で示せ。
• 4)同じく、この効率的フロンティアを図示せよ。（横軸をσ^2、縦軸をE(r)として示せ）
  • 参考

    1)は分散のページを参考に。ポートフォリオの分散は、確率変数の荷重和の分散である。
    2)は１）を使って、ラグランジェの未定乗数法で解く。
    まず、全ての分散が１なのでσ１^2=σ2^2=σ3^2=1　、
    かつ無相関なのでσ12=σ23=σ13=0
    このwikiの最小分散ポートフォリオを参考に解く。
    最小化すべき目的関数J(w1,w2,----,wn）は、
    J=(1/2)ΣΣwiwjσij　--->Min
    制約条件は
    Σwi・E(ri)=E(r)
    Σwi=1
    分散項に1/2を付けた理由は、最後に得られる式をきれいにするためである。
    ラグランジュ乗数　λとμを用いて、ラグランジアン　L　を次式で定義する。
    J=(1/2)ΣΣwiwjσij　+ λ[Σwi・E(ri)-E(r)]　+ μ(Σwi-1)
    最小化の必要条件は、重みwi,i=1,n　とλとμ　について、極値をとることである。
    1回微分を行うと次式を得る
    Σwjσij+λE(ri)+μ=0 i=1~n
    全ての分散が１かつ無相関なので
    w1+λ+μ=0
    w2+2λ+μ=0
    w3+3λ+μ=0
    w1+w2+w3=1
    w1+2w2+3w3=E(r)
    上の３つの式をもとにwiを求め、下の2つの式に代入
    -6λ-3μ=1
    -14λ-6μ=E(r)
    これら2式より、λ=-E(r)/2+1、μ=-7/3+E(r)
    これをwiに代入するとw1がE(r)で表わせる。
    解の標準偏差は、全ての分散1より、σ=SQRT（w1^2+w2^2+W3^2)であるので
    σをE(r)で表わせる。
    最小分散点は、σ-E(r)平面上の対称性からE(r)=？、σ=？となる。
    4)は、E(r)を変えた時、最小分散値を与える点の実現可能集合のうち、
    上半分を効率的フロンティアと呼ぶことから横軸にσ縦軸にE(r)をとって表わす。

無リスク資産と効率的ファンド †

３つの互いに無相関な資産がある。どの資産も分散は１であり、その平均値はそれぞれ１，２，３であるとする。無リスク資産の収益率はrf=0.5とする。この時、次の問題を解け

• 1).効率的ファンドを表す接点を与える重みw1,w2,w3を求めよ。
• ２)．無リスク資産とこの接点を結ぶ直線（ファンドと無リスク資産の組み合わせ）は、3資産でできる効率的フロンティアよりも、より良い（リスクが少ない）ことを図で示せ。
  • 参考

    無リスク資産とリスク資産のポートフォリオを結ぶ直線の傾きをβとすれば
    β=[E(r)-rf]/σ
    このβを最大とする点を求めればよい。
    β＝[Σwi(E(ri)-rf)/SQRT[ΣΣσijwiwj]
    と書き換えられる。
    上記の問題では、wiを定数倍しても、βは変わらない。そこでΣwi＝1を無視できる。
    ここでβを各wiで微分して、それを0とする。
    Σσkjλwi=E(rk)-rf　k=1～n
    ここでvi=λwiとおくと
    Σσkjvi=E(rk)-rf　k=1～n 
    この方程式を解いてviを求めて、それを正規化すればwiが求められる。
    この問題では
    E(r1)=1、E(r2)=2、E(r3)=3、rf=0.5
    共分散のすべてが0なので、簡単になる。
    v1=1-0.5
    V2=2-0.5
    V3=3-0.5
    合計が1になるように正規化すれば
    w1=1/9
    W2=1/3
    w3=5/9