螺旋

等角螺旋　equiangular spiral †

The equiangular spiral has a lot longer history than the science of mathematics. The spiral has been produced for thousands of years in the shape of the nautulis shell, the arrangement of sunflower seeds in the sunflower, among various other natural phenomena. The spiral has been known by a variety of names corresponding to one or another of its fetures. By Descartes, who discussed it in 1638, it was designated the equiangular spiral, because the angle at which a radius increasess in geometrical progression as its polar angle increasess in arithmetical progression, it has been called the geometrical spiral. Descartes started from the property s = a.r. Torricelli, who died in 1647, worked on it independently and used for a definition the fact that the radii are in geometric progression if th angles increase uniformly. From this he discovered the relation s = a.r; that is to say, he found the rectification of the curve. Halley noting that the lenghts of the segments cut off from a fixed radius by successive turns of the curve were continued proportion, named it the proportional spiral. Jacob Bernoulli (1654-1705), who was so fascinated by the mathematical beauty of the curve that he asked that it might be engraved on his tombstone, called it the logarithmic spiral. Bernoulli (1654-1705) who requested that the curve be engraved upon his tomb with the phrase "Eadem mutata resurgo" ("I shall arise the same, though changed.")

• 台風の螺旋
  
• 星雲　M51
  

対数螺旋：logarithmic spiral †

それは中心からの距離が増加するにつれてらせんの間隔が幾何級数（または等比数列： Geometricpr pgression )的に増加します。等角らせん(equiangular spiral)、成長らせん(growth spiral)、及び{バーニューリー(ベルヌーイ；Bernoulli)}らせんあるいは"驚異のらせん(spira mirabilis,The marvellous spiral)"としても知られているこの曲線の豊富な特徴は、17世紀の哲学者{デイカールト(デカルト；Descartes)}によって発見されて以来、数学者たちを魅了しています。興味深いことにこの抽象的な形は自然界には上の印象的な視覚比較で示されるよりももっと豊富にあります。たとえば、対数らせんが表現するのは、ひまわりの種の配列、オウム貝の形そして、もちろん、{コーラフラウア(カリフラワー；cauliflower)}があります。

歴史的記述　デカルトとヤコブ　ベルヌーイ †

After the discovery of analytical geometry by Rene Descartes(1596-1650) in 1637, the custom of representing various curves with the help of equations came into vogue. Logarithmic spiral was one of those curves which at that time'drew the attention of mathematicians. During that time the polar equation of logarithmic spiral was written as In r = θ where 'In' stands for natural logarithm, i.e. logarithm with base e (then called as hyperbolic logarithm). At present that equation is written in the form r = e^aθ,where θ is measured in radians (one radian is approximately equal to 57 degrees). The constant 'a' represents the rate of increase of the　spiral. When a > 0, then r increases in the anti-clockwise　sense and left-handed spiral is generated .

等角らせんはデカルトによって発見され，1638年のメルセンヌヘの手紙の中に述べられている．デカルトは，半径ベクトルと一定の角度で交わりながら成長する曲線の概念から出発し，半径ベクトルの長さはひと巻きごとに一定の比を保っていること，また，らせんによって切りとられる線分の長さもひと巻きごとに一定の比率で増大すること，

• デカルトがメルセンヌに研究成果を書き送った1638年はガリレオ・ガリレイが『新科学対話』をオランダで出版した年

デカルトによるこの螺旋の定義から、まず等角螺旋として研究されたことが分かります。この螺旋を対数螺旋として研究したのはヤコブ・ベルヌーイです。この曲線は極形式で ｒ＝a^θ と表せます。両辺の自然対数をとって整理すると θ＝log r/log a aは定数だから、log aも定数で1/log a をkとすると θ＝k log r と表すことが出来ます。つまり「極のまわりの回転角は半径の対数に比例する」このことから，等角螺旋は対数螺旋とも呼ばれるのです。彼はこの螺旋が大変気に入って墓碑銘にこの螺旋を刻むように遺言した。

• 17 世紀の数学者ヤコブ・ベルヌーイは等角螺旋のもつ様々な美しい性質に感動し, 自分の墓石には等角螺旋を刻んで欲しいという遺言を残しました. しかし石屋の手違いまたは手抜きのために彼の墓石にはアルキメデス螺旋(r = aθ) が刻まれてしまった。
  
• 対数螺旋の動径と接線のなす角度がθに関わりなく一定である。等角螺旋THE EQUIANGULAR SPIRALとも呼ばれる

いろいろな螺旋と呼び名 †

Equiangular spiral (also known as logarithmic spiral, Bernoulli spiral, and logistique) describe a family of spirals. It is defined as a curve that cuts all radii vectors at a constant angle. A special case of equiangular spiral is the circle, where the constant angle is 90 Degrees.

定義そして長さ、曲率、正接角 †

The equation of Equiangular (or logarithmic spiral in Polar Coordinates is given by

r=ae^bθ

where r is the distance from the Origin, is the angle from the x-Axis, and a and b are arbitrary constants. It can be expressed parametrically using The rate of change of Radius is dr/dθ=abe^bθ=br and the Angle between the tangent and radial line at the point　(r,θ) is

So, as　b->0　then　φ->π/2　and the spiral approaches a Circle.

If P is any point on the spiral, then the length of the spiral from P to the origin is finite. In fact, from the point P which is at distance r from the origin measured along a Radius vector, the distance from P to the Pole along the spiral is just the Arc Length.

The Arc Length, Curvature, and Tangential Angle of the logarithmic spiral are

R=1/κ＝ｂｓ.

基本性質：曲率半径Rが弧長(路長)s に比例する。

性質　Properties of Logarithmic Spiral †

• 1. The most important property of a logarithmic spiral　is that r (i.e. the distance from the origin) increases　proportionately with increase of θ. The reason for this is e^aφ acts as common ratio in the　relation

  e^a(φ+θ)=e^aφ・e^aθ). 

• 2. If from any point on a logarithmic spiral one starts　spiralling inwards along the curve then an infinite number of complete rotations are required to reach the origin, but the distance traversed will be finite . This property was discovered by Evangelista Toricelli(160?-1647), pupil of Galileo Galilei (1564-1642).This discovery of Toricelli was the first instance of rectification, i.e. the calculation of the length of an arc of a non-algebraic curve.
• 3. Any line segment drawn through the origin always intersects a logarithmic spiral at equal angles.If we put a = 0 in the equation of an equiangular spiral, then we get r = 1 which is the equation of a unit circle. So, circle is a special type of equiangular spiral whose rate of growth is zero.

螺旋の例題 †

［問題」1辺の長さが100ｍの正方形の頂点に，Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄの４匹の犬がいます．いま，ＡがＢを追いかけ，ＢがＣを追いかけ，ＣがＤを追いかけ，ＤがＡを追いかけるというようにして，同時に同じ速度で走り始めました．４匹が正方形の中心で同時に追いつくまでに，それぞれの犬は何ｍずつ走るでしょうか．

• ［解答］４匹の犬が中心で同時に追いつくまでの途中を考えると，図のように，４匹はやはり正方形の頂点にいます．このため，ＡがＢを追いかけている状態を考えると，ＢはＡが走る方向といつも直角に走っています．このことは，ＡとＢの間の距離を縮めることに関しては，Ｂの走りは何の影響も与えないことを示しています．こうして，ＡがＢに追いつくまでに走る距離は，最初に離れていた100ｍそのものとなります．同じことは，どの犬についてもいえるので，どの犬もちょうど100ｍ走ったところで，正方形の中心に集まります．（「数学パズル・20の解法」中村義作／講談社ブルーバックス）
• [証明]軌跡はＯを極とした極座標（r,θ）を考える。ＡはＢに向かって走るのですから常にＡＢが接線になります．すると∠ＯＡＢ＝π/４となる。r ＝f (θ)とし，接線と動径のなす角をωとすれば， r/r’＝tanωなので　ｒ’=ｒ　。これは「微分方程式」で「変数分離型」である。dr/dθ=r　∫1/rdr=∫dθとなるので　logｒ＝θ+定数となる。この解は　r=a・e^θ　となり、等角螺旋である。 正方形の1辺の長さをsとすれば、A点では　r=s/√2　θ=π/４なので　a定数が決まる。 s/√2＝a　e^π/４　より　a＝s/√2e^(-π/４) となる。 曲線の長さLは，媒介変数表示x＝f ( t )，y＝g ( t )の場合は，t ＝αからt ＝βまでの曲線の長さは

  L＝∫α->β√(dx/dt)^2+(dy/dt)^2 dt

  これを極座標の場合に変換 x＝r cosθ，y＝r sinθですから，積の微分を使って， dx/dθ＝ dr/dθ・cosθ－r sinθ， ＝ dr/dθ・sinθ＋r cosθ　であるから

  (dx/dt)^2+(dy/dt)^2=(dr/dθ・cosθ－r sinθ)^2+(dr/dθ・sinθ＋r cosθ)^2=(dr/dθ)^2+r^2

  長さは dθ=dtとして

  L=∫α->β　√((dr/dθ)^2+r^2)　dθ

  この式にr=a・e^θを代入します。dr/dθ＝ｒより 　L=∫α->β　√２・rdθ=∫α->β　√２・a・e^θdθ＝√２・a(e^β-e^α） 求める区間はα＝－∞　からβ=π/４　であるので、

  L=√２・ae^(π/4)

  さきに求めたa＝s/√2e^(-π/４)を代入すれば　L＝ｓとなる。 従って，問題の場合はs＝100mですから、螺旋長も100mとなる。

黄金比、黄金分割と螺旋 †

The book Dynamic Symmetry of Jay Hambidge(published in 1926) has also influenced several artists for a long time. Hambidge has written the book keeping'golden section' or 'golden ratio' in his mind. Rectangles whose lengths and breadths are in the ratio φ:1(where φ is the golden number) are known as　'golden rectangles'. According to many artists, dimensions (length and width) of golden rectangles are most beautiful from the aesthetic point of view. For this reason,golden section has played a major role in architecture. It is interesting to note that if the breadth of a golden rectangle is taken as the length of another rectangle then that rectangle will also be a golden rectangle.

• A golden rectangle is one whose side lengths are in the golden ratio, 1: φ (one-to-phi), that is, １：(１＋√５)/２ or approximately 1:1.618.

• ケプラーの三角形の作図方法を繰り返すことで、黄金比の螺旋を作図できる。

螺旋の長さを求める †

次の曲線の長さを求めよ

r=e^(aθ) 0≦θ≦2π

(解）公式より

長さは　s=∫[0→2π]√{e^(2aθ)＋a^2e^(2aθ)}dθ
=∫[0→2π]√{e^(2aθ)(a^2+1)}dθ
=∫[0→2π]√{(√a^2+1)∫e^(aθ)dx 

　0≦θ≦2π の区間では 　{√(a^2+1)}(a^(2πa)-1)/a

渦巻き銀河(子持ち銀河　M51)の運動方程式 †

• 渦巻き銀河の力学的説明
  
• ジョンズ・ホプキンス大のホランド・フォードは、直径100光年ほどのＭ５１の中心核を広視野／惑星カメラで観測し、Ｘ型の暗い模様つきの核を撮影した。Ｘが何を示すかは、正直なところ不明のようだ。Ｍ５１の中心部には、太陽の数百万倍の質量のブラックホールの存在が予想されている。 ある解釈では、ブラックホールの回りを回る、冷たいガスとチリの円盤（が２つ？ということ？）というものだ。
• 負のポテンシャルエネルギーが螺旋星雲を形づくる。時空の歪み：Time-space　torsion
• 相対論によれば空間は時空連続体であり、一般相対性理論では、その時空連続体が均質でなく歪んだものになる。つまり、質量が時空間を歪ませることによって、重力が生じると考える。そうだとすれば、大質量の周囲の時空間は歪んでいるために、光は直進せず、また時間の流れも影響を受ける。これが重力レンズや時間の遅れといった現象となって観測されることになる。また質量が移動する場合、その移動にそって時空間の歪みが移動・伝播していくために重力波が生じることも予測される。 アインシュタイン方程式から得られる時空は、ブラックホールの存在や膨張宇宙モデルなどが予想されている 。
• 暗黒エネルギー(ダークエネルギー)は、近年行われた遠方超新星の観測や宇宙マイクロ波背景放射の観測によって示された宇宙の加速的膨張を説明するために導入された、宇宙全体に均一に満たされている仮想的なエネルギーのことです。この暗黒エネルギーは、それ自身が持つ重力を上回る負の圧力を持つとされ、その結果あたかも宇宙全体が「反発する重力」を持つように観測され、それにより宇宙の膨張速度が加速的に増加します。しかしながら暗黒エネルギーは直接的には検出されてはおらず、その正体は現代の天文学および物理学の最大の謎の一つであるとされています。

ベルヌーイ試行と大数の法則 †

ヤコブ・ベルヌーイ(Jacques Bernoulli 1654-1705)は確率論の基礎になる大数の法則を見つけた

硬貨を投げる際、投げる回数を多くすれば表と裏が出る確率は1／2に集中してくる、それより大きくなったり小さくなったりすることは無い。 またサイコロを投げた場合、回数が多くなればある目の出る確率は1／6である。このような現象は確率の本質的な性格で大数の法則と呼ばれる。 ベルヌーイはスイスの数学者で、名著「推測法」で新奇さ、素晴らしい実用性、極端な難解さを兼ね備えたベルヌーイの定理、一般的には「大数の法則」と呼ばれるものを発表して確率論の基礎を造った。 ベルヌーイ試行(Bernoulli Trials)とは白か黒か・表か裏か・成功か失敗か等、どちらかの事象が独立して起る確率を公式化したものである。

成功の可能性を(p)、失敗の可能性を(1－p)とする。n回の成功とm回の失敗の出る確率はつぎの2項分布で表わせる。

Prob(n成功、またはm失敗)=(n+m)!／n!×m!×p^n(1－p)^m

参考 †

• オイラー・スパイラル　数学的歴史