複素数・ガウス平面

オイラー †

レオンハルト・オイラー（Leonhard Euler, 1707年4月15日 - 1783年9月18日）は数学者・物理学者であり、天文学者（天体物理学者）である。18世紀最大・最高の数学者である。スイスのバーゼルに生まれ、現在のロシアのサンクトペテルブルクにて死去した。

複素数（ふくそすう、complex number） †

実数 a, b と虚数単位 i を用いて a + bi の形で表すことのできる数のことである

ガウス平面：複素平面 †

一つの複素数 x + iy は二つの実数 x, y の組 (x, y) によって特徴付けられる。一方で二つの実数の組はデカルト座標を敷いた平面上の点として特徴付けられる。そこで、複素数を平面上の点と一対一に対応付けることによって、複素数をその内部の点として含む平面を考えることができる。このようにして得られる平面を、ガウス平面 (Gaussian plane) あるいはアルガン図 (Argand Diagram)、複素平面（complex plane）などとよぶ。

• ガウス平面では、x 座標に実部、y 座標に虚部が対応し、 x 軸のことを実軸 (real axis)、 y 軸のことを虚軸 (imaginary axis)と呼ぶ。

Euler's formula、オイラーの恒等式 †

指数関数と三角関数の間に成り立つ等式

指数関数と三角関数の関係式。e^iθ = cosθ + isinθ 

オイラーの公式の幾何的な表示をいう。

• 全く起源の異なる指数関数と三角関数が複素数の世界では密接に結びついていることを示していると見ることができる。たとえば三角関数の加法定理は、指数法則 e^a・e^b = e^(a+b) に対応している。

オイラーの等式 †

オイラーの恒等式でθ = π のときに導かれる等式。
e^iπ + 1 = 0

参考 †

• 数理基礎論