資産の収益

資産の収益：Return of Asset †

生産設備や金融資産などへの資産（asset)への投資は、収益を生む。 時刻0で投資し、1年後にこれを売却した場合を想定する。 投資金額をX0、売却価格をx1としたとき、総収益(total return)は、次式で定義される。

総収益＝受取金額-投資金額=x1-x0

そして、収益率rは、次式で表わされる。

収益率　r　=(受取金額-投資金額)/投資金額
r = (x1-x0)/x0

収益率のことを、単に収益(Return)とよぶことが多い。

x1 = (1+r)x0

収益率は利子率と似たような作用をすることが、上式でわかる。

収益の不確実性 †

1年後の資産の金額は不確実である。 そこで、確率的な事象として定式化される。

すなわち、r　は確率変数とし、その期待値は

E(r)=　Σ　ri・pi　i=1~m
piはriが生起する確率。Σpi=1。piは非負。

• 収益の性質：期待値
  • １．確定値certain value：ランダムでないならば、E(r)=　r
  • ２．線形性linearrity :任意の実数α,βに対して、2つの投資利回りrAとrBは

    E[α・rA　+　β・rB]=　αE(rA)　+　βE(rB)

  • 3.非負性nonnegativity:もしrが非負ならば、E(r)も非負である。符号が保存される。

• 収益の分散

ｒの期待値をE(r)とする時、r-E(r)の平方和も確率変数である。分散とは

V(r) = E[(r-E(r))^2]

で定義される。

分散を表わす記号としてσ^2が良く用いれる。すなわち分散の平方根をσで表わし標準偏差と呼ぶ。 分散の計算に役立つ公式は以下のとおりである。

V(r) =σ^2= E[r-E(r))^2]=E(r^2)-E(r)^2

• ２つの資産の共分散 共分散は、次式で定義される。

  COV(rA,rB)=E[(rA-E(rA))・(rB-E(rB))]

  分散と同様に、簡単に計算するには、次式が用いられる。

  COV(rA,rB)=E((rA・rB))-E(rA)・E(rB)

• 相関係数

資産Aと資産Bには、相関があることが通常である。 ２つの確率変数の間の共分散が零の場合、これらの変数は無相関であるという。

相関係数は、一般に次式で定義される。-1から１の間の実数値をとる指数である。

相関係数^2＝COV(rA,rB)/[σ(A)・σ(B)]

共分散は、次の上限をもつ。

COV(rA,rB)＝<σ(A)・σ(B)

練習問題 †

正5角形のサイコロを2回投げるとする。１から５の目があり、試行は独立である。 出た目をxとするとき、(x-3)*10％の収益率があると仮定しよう。例えば４の目がでれば、収益率r=0.1である。 この時、次の問題に答えよ。

• １.1回の試行の収益率の期待値と分散を求めよ。
• ２．掛け金は1万円であり、開始前に1回目と2回目の掛け金をそれぞれw・1万円、(1-w)・1万円を決めるとしよう。この時、トータルの期待収益率の期待値と分散を表せ。
• ３．分散を最小にするには、どのような割合wで掛ければ良いか？。