逆行列と公式

行列の積とは †

逆行列とは †

正方行列　A=｛aij｝の逆行列(inverse matrix)とは

AB=I Iは単位行列

を満たすBであり、B=A^(-1)　またはA-　またはA~　で表わす。 但し の行列式(determinant) が零でない（正則行列）場合のみ存在する。

• n 次の正方行列A の逆行列が存在するとき、A は正則であるという。

• A をn 次の正方行列とする。このとき、次の３条件は同値である。
  

逆行列の公式 †

公式：　(A+BC)~ = A~ - A~B(I+CA~B)~CA~

• 証明：左辺の逆行列を右辺に掛け、単位行列になる。

(A+BC){A~ - A~B(I+CA~B)~CA~} = AA~ + BCA~ - B(I+CA~B)~CA~ - BCA~B(I+CA~B)~CA~

だが、右辺の最後の二項は、

B(I+CA~B)~CA~ + BCA~B(I+CA~B)~CA~ = B(I+CA~B)(I+CA~B)~CA~ = BCA~

なので、

(A+BC){A~ - A~B(I+CA~B)~CA~} = AA~ + BCA~ - BCA~ = AA~ = I

公式いろいろ †

ガウス・ジョルダン（Gauss Jordan)消去法 †

　Gauss-Jordan消去法とは，連立１次方程式

A x = y

をGauss消去法と同様の方法，すなわち行単位での実数倍，行同士の加算および減算によって全体を変形していき，

x =A y

を求める方法である。

• 実例：下記の行列Aの逆行列A-1を求めよ．
  
  • 手順1：A x = y（= I y）の係数行列を取り出す．
    
  • 手順2：上式の第2行＋第1行×3，第3行−第1行
    

• 手順3：上式第3行−第2行
  

• 手順4：上式の第1行×(-1)−第3行×0.4，第2行×0.5＋第3行×0.7，第3行×(-0.2)
  

• 手順5：上式の第1行＋第2行
  

• まとめ：以上より，行列Aの逆行列A-1は
  

• ガウスの消去法は未知数が多くなると適用できないのはなぜでしょうか? 手順として、最後の行の未知数を1とし、それ以外は0となるように各行の係数で加減乗除したりします。未知数が多い(行数が多い）ので最終行の多くの未知数を他の行を加減乗除した係数で0となければなりません。その度に丸め誤差や切り捨て誤差が累積し、結果的に精度の悪い解となってしまいます。
• 参考１：連立方程式の解法
• 参考２：数値計算法