CAPMのベータ(β)とは †ファイナンス理論 CAPM で書いたように、資本資産価格モデル(CAPM)では、縦軸(y)に資本の収益率、横軸(x)に収益率の標準偏差(収益率の変動性:ボラティリティ)とった時、これをリスク・リターン平面と呼び、完全な均衡状態では、全ての資産が、一本の直線の上に位置することが示される。この直線は、ハイリスク(標準偏差)が大きい程、ハイリターン(収益率が高い)を意味する。ベーター値とは、この直線の傾きのことであり、個別資産の変動性と収益の関係を表わす基本指標である。
ベーター値とは、個別資産の変動の大きさが市場指数(例えばTOPIX)の価格変動に比べ大きいか小さいかを示す指標です。ベータ値(β値)が1であれば、市場指数と同じ動きをしたことを示し、1より大きければ市場指数より値動きが大きく、1より小さければ市場指数より値動きが小さかったことを示します。 ベータの定義:CAPMのβ †CAPMでは、一定の仮定のもとで、次の資本市場線とベータを定義している。 証券などの個別資産のt時点での超過収益率を。Ritとする。(超過とは、固定金利(risk free interest)からの超過利回りを意味する。) この時、i資産のベータ(一定値:βi)は、次式で表わされる。 Rit = αi+βiRot+εit 誤差項εitは、N(0,σi^2)と仮定 Rit=Log(Pit/Pit-1)-rft Pit:i資産のt時点の価格 Rot:t時点のマーケットポートフォリオの超過収益率(excess return) 上式の誤差項の二乗和を最小とする通常の最小二乗法(OLS)の解から、ベータの推定値β*は次式で表わされる。 β*=Cov(Ri,Ro)/Var(Ro) Covは、2つの時系列Ri,Roの共分散で、VarはRo時系列の分散。
SVモデル(確率的ボラティリティモデル)によるベータの推定 †確率的ボラティリティ モデル のページにその方法を記している。 SVモデルでは、Ritを確率変数として、その期待値と分散の式を扱う。 期待値は Rit=μit+σitεit (1) ただし、εitはNID(0,1):独立な平均0の標準正規分布に従う誤差項 μitは、Ritの期待値である。事前に処理することで、μit=0として扱う場合も多い。 ここで、実際のボラティリティσit^2を、正のスケーリング要素σi*を用いて標準化する。 vit=Log(σit^2/σi*) 対数ボラティリティvitは、1次の自己回帰モデルで表わす。 vit=φivit-1+σηiηit (2) ηitはNID(0,1):独立な平均0の標準正規分布に従う誤差項 (1),(2)の式がSVモデルである。ただし、εitとηitの誤差過程は無相関と仮定する。 パラメータφiは、0<φi<1であることが、vitが定常過程である条件である。
カルマンフィルタによるベータの推定 †超過収益率Ritを、観測式で表わし、ベータの推移式を素直に状態推移式で表わすことで、状態空間表現できる。 Rit=βitRot+εit :観測式 βit=φiβit-1+ηit :状態推移式 E(εitεis)=δtsσi^2,E(ηitηis)=δtsσηi^2,E(εitηis)=0 for all t and s. カルマンフィルターは、Ritの観測値を用いて、状態量βitの推定(厳密にはフィルタリング推定)を行うことができる。
上記の状態推移式を下記のように置くケースである。 βit=βit-1+ηit
上記の状態推移式を下記のように置くケースである。 βit=β*i+φiβit-1+ηit β*i:定数 これは定数項β*iと自己回帰モデルAR(1)のパラメータφiで表現されたモデルである。 長期間の平均βbarと考えることで、φiは、その平均値にもどるスピードを表わすとも解釈できる。次式に書き直してみると理解できる。 βit=βbari+φi(βit-1 - βbari)+ηit
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