オイラー法の変更点

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*オイラー：Euler [#f1722ab8]
１７０７年４月１５日、オイラーはスイスのバーゼルに牧師の子として生まれた。父は数学が好きで ヤコブ・ベルヌーイの弟子となって勉強した。２０歳の時ペテルスブルグ王立学士院に職を得て、以後死ぬまでここから給料をもらい続けることになる。２６歳で結婚したオイラーには１３人の子供がいた。オイラーは赤ん坊を膝にのせ、子供たちと遊びながら、数学の研究論文を書いた。
ニュートン力学の基本公式を初めて書き下したのはオイラーであった。変分法、剛体の力学、流体力学、音響学、航海術、船舶の設計など。月の運動の理論｛三体問題（太陽と地球と月）｝に史上初めて計算可能な近似解を与えた。フェルマーの最終定理にも貢献。物理学者でもある。
*オイラー法：Euler method　積分方法 [#m2dac442]

In mathematics and computational science, the Euler method, named after Leonhard Euler, is a first-order numerical procedure for solving ordinary differential equations (ODEs) with a given initial value.
It is the most basic kind of explicit method for numerical integration for ordinary differential equations.
#ref(http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/a/ae/Euler_method.png/220px-Euler_method.png)

Derivation
 
We want to approximate the solution of the initial value problem

 dy(t)/dt　=　f(t,y(t))
 
by using the first two terms of the Taylor expansion of y, which represents the linear approximation around the point (t0,y(t0)) . One step of the Euler method from tn to tn+1 = tn + h is

 yn+1 = yn + h・f(t,yn)
 
The Euler method is explicit, i.e. the solution yn + 1 is an explicit function of yi for i<n.

While the Euler method integrates a first order ODE, any ODE of order N can be represented as a first-order ODE in more than one variable by introducing N − 1 further variables, y', y", ..., y(N), and formulating N first order equations in these new variables. The Euler method can be applied to the vector (y(t),y'(t),y"(t), ..., y(N)(t)　) to integrate the higher-order system.

The magnitude of the errors arising from the Euler method can be demonstrated by comparison with a Taylor expansion of y.

*単振動のオイラー法 [#ab0c29a6]
単振動の方程式を例に挙げて」、オイラー法を示してみよう。

運動方程式は
#ref(euler1.JPG)

差分によって、時間を⊿t だけ進める式は
#ref(euler2.JPG)
ここで、n ステップ目の値を(pn; qn) とすると、1 ステップ分の時間発展は、2次元の差分方程式で表わせる。
#ref(euler3.JPG)

*オイラー法をEXELで解く [#wec1d965]
単振動は最も簡単な2次元線形常微分方程式です。添付のEXELファイルを使って、いろいろ係数を変えて、試してみましょう。振動したり、発散したり、収束したりします。

-EXEL超入門
[[データーを読み込んでグラフを描く方法>http://homepage3.nifty.com/gakuyu/excel/data_open.html]]で紹介されています。
オイラー法 の変更点

オイラー法の変更点
