パラメトリック励振の変更点

追加された行はこの色です。
削除された行はこの色です。
パラメトリック励振へ行く。
#freeze
*パラメトリック励起振動（励振）とは [#x8cb9ff6]
通常のバネ・ダンパー系やブランコなどの運動は、２階の線形微分方程式で表わされる。そして、その解はには、２つ固有値からなる振動モードと制動から、ステップ状の入力に対しては、大きく振れながら一定値に収束していく。しかしながら、ブランコで例えれば、外力を加え続けることで、揺れがおおきくなるような現象が現れる。このように、固有値を決めるパラメータに一定の変化を加えることで、振動をおおきくするような現象をパラメトリック励起振動という。
#ref(dynamics-of-parametric-oscillator.JPG)

* 単振動の運動のモデリング[#p6c19531]
糸の長さはLで一定とする。鉛直方向との角度をθとする。支点は（０，０）で動かない。

鉛直方向の力のバランスは、糸の張力をSとすれば
 m d2y/dt2 =mg - S cosθ
水平方向の力のバランスは、
 m d2x/dt2 = - S sinθ
cosθ＝y/L、sinθ＝x/L　を代入して、上の2式を整理すると
 m d2y/dt2 =mg - S y/L
 m d2x/dt2 = - S x/L
ここで　θが十分小さいと仮定する。cosθは１に近いのでy/L＝1　すなわちyはLに近似できる。またd2y/dt2＝0としてよい。
上側の式は０＝mg　- S に近似できる。これからS=mgを下側の式に代入して消去する。
  m d2x/dt2 = -(mg/L)x
mを両辺から消す
 d2x/dt2 = -(g/L)x
これが横方向の運動方程式である。

書きなおすと
 d2x/dt2 + (g /L)x =0
特性方程式は
 F(λ)＝λ^2＋ω^2　但し　ω=√g/L
F(λ)＝0の解は、+iωと－iωなので、上記の微分方程式の解は
 X(t)=Ae^(iωt)+Be^(-iωt). あるいはx(t)=Acostωt+Bsinωt
で表わされることになる。

#ref(harmonic-oscillator.JPG)
*パラメトリック励起振動のモデリング [#fc96efa6]
支点が上下方向にy0(t)のように、動く場合の単振動を考えよう。
鉛直方向の力のバランスは、糸の張力をSとすれば
 m d2y/dt2 =mg - S cosθ　　　（１）
水平方向の力のバランスは、
 m d2x/dt2 = - S sinθ　　　　（２）
である。
ただし。
 X=Lsinθ
 y(t)=y0(t) + Lcosθ
時間ｔの関数は、θ　と　y０　である
これより,（１）式を　y0の運動に書き換える。
 d2y/dt2 = d2(y0(t) + Lcosθ)/dt2＝d2y0/dt2+Ld2(cosθ)/dt2
d2(cosθ)/dt2＝d｛-sinθdθ/dt｝/dt＝ー｛cosθdθ/dt＋sinθd2θ/dt2｝であるので

 d2y/dt2 = =d2y0/dt2-L｛cosθdθ/dt＋sinθd2θ/dt2｝
これを使って、m d2y/dt2 ＝mg - S cosθ を書き換えると、
 m (d2y0/dt2-　L｛cosθdθ/dt＋sinθd2θ/dt2｝) ＝　mg - S cosθ　　　　（１）’
一方　（２）式をθの微分方程式に書き換える。
 d2x/dt2 ＝L　d2(sinθ)/dt2　＝　-L　sinθ
 m d2x/dt2 ＝　-mL　d{cosθ　dθ/dt}/dt＝-mL｛-sinθdθ/dt＋cosθd2θ/dt2｝　＝ - S sinθ
整理すれば
 mL　｛-sinθdθ/dt＋cosθd2θ/dt2｝　＝ - S         (2)' 
上の式から、Sを求められる。(1)'にｓを代入して整理する。
 m (d2y0/dt2-　L｛cosθdθ/dt＋sinθd2θ/dt2｝) ＝mg ＋mL　cosθ｛-sinθdθ/dt＋cosθd2θ/dt2｝
整理する。
 (1/L)d2y0/dt2-cosθdθ/dt＋sinθd2θ/dt2 ＝g/L　+　｛-sinθcosθdθ/dt＋（cosθ）^2　d2θ/dt2｝

 m (d2y0/dt2-　Lcosθ) ＝　mg ＋ mLcosθ　d2θ/dt2 
mを消去して整理
 Lcosθ　d2θ/dt2 +g ＝ (d2y0/dt2-　Lcosθ)
これが、θとy0に関する運動方程式である。
θが、十分小さい時はcosθ＝１と近似して
 d2θ/dt2 +g/L　＝(1/L）d2y0/dt2-１


 d2x/dt2 + (1/L)(g+L - d2y0/dt2)x ＝ 0
あるいは
 d2x/dt2 + (g/L)X ＝　｛(1/L)d2y0/dt2-1｝X
左辺は、自由単振り子の式であり、右辺は強制項とも考えられる。

d2y0/dt2が値をもつばあい、つまり支点が加速度運動をしていれば、重力加速度がg＋L - d2y0/dt2に従って変化するのと同じ。



*y0(t)＝αsin２ωt　(L>>α>0)の場合 [#c9fdafc9]
ブランコの角速度ω0の2倍の角速度で支点を上下させる場合を考える。

#ref(parametric-oscillator.JPG)

d2y0/dt2＝-4αω^2sin2ωt　なので、これを
 d2x/dt2 + (1/L)(g - d2y0/dt2)x = 0
に代入する。
 d2x/dt2 + (1/L)(g +4αω^2sin2ωt)x = 0
ω0=√g/L として
 d2x/dt2 + (ω0^2＋４（α/L)ω^2sin2ωt)x=0
  (1/ω0^2)d2x/dt2 + (1+４（α/L)(ω/ω0)^2sin2ωt)x=0
以上より、パラメトリック励起振動の微分方程式は、次式で表される。
 (1/ω0^2)d2x/dt2 + (1+４εsiin2ωt)x=0
 ε=(α/L)(ω/ω0)^2   ω0=√g/L 
εが０の時が単振動である。
#ref(dynamics-of-parametric-oscillator.JPG)
パラメトリック励振 の変更点

パラメトリック励振の変更点
