#freeze
*ポアソン分布 [#v7db3eff]
#ref(poisson-distribution.gif)
*ポアソンの定理 [#sad7de53]
二項分布がｎが十分大きいとき、ポアソン分布近似できる。（ポアソンの定理）
-pn を n とともに減少する 0<pn<1 なる実数とし、ｎ->∞のとき、pn-->λの時
#ref(poason.gif)
*何故か？ [#v821a048]
証明してみましょう
-nが非常に大きくて、ｐが小さい時は　
 np=λ
と置いてみましょう。
(1-p)^n は、指数の定義から、下記のように近似できる。
 (1-p)^n=(1-λ/n)^n=EXP(-λ)
二項係数は、
 nCk=n(n-1)....(n-k+1)/k!
    =1(1-1/n)...(n-(k-1)/n)n^k/K!
    =1(1-1/n)...(n-(k-1)/n)(λ/p)^k/K!
である。
二項確率分布は、下記のように表現できる。
 P(n,k)=nCk p^k(1-p)^(n-k)
        =nCk p^k(1-p)^n(1-p)^(-k)
       =｛1(1-1/n)...(n-(k-1)/n)/K!(a/(1-p))^k (1-p)^n
-nが大きいと
--第1項は1/k!に近づく
--第2項はλ/(1-p)=λ/(1-p)=λ/(1-λ/n)なので、λ^kに近ずく。
--第3項はEXP(-λ)に近づく
以上より

''n-->大きい時、二項確率分布　P(n,k)=nCk p^k(1-p)^(n-k)　はP(k,λ)=[λ^k/k!]EXP(-λ),λ=n/p　なる　ポアソン分布に従う。''

*例題 [#lb783239]
世界の航空機事故のデータによれば、「年間１千万回(n=10^7)のフライト数に対して、おおよそ10件の事故が発生している。」ようです。
-問１．n=10^7、p=10^(-6)として、1年間にk回事故が起こる確率を、数式で表わせ。
-問２．1年間に3回事故が起こる確率はいくらでしょうか。
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