指数平滑移動平均の変更点

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*指数平滑移動平均とは [#j1a18deb]
定数 r (0<r<1)をとり、i 日前の観測値S(i)に r^i を掛けて加重平均を取ったものを指数平滑移動平均という（面倒なので、以下 「指数平滑平均」 と書く）。
現在t=0から、N期前までの指数平滑平均を E(0,N) とすると、形式的には次の式で表せる。
 E(0,N)=Σri^iS(i)/Σr^i　Σはi=0,Nの合計

*漸化式 [#kbe185ac]
性質；指数平滑平均では、当日の平均値は、前日の平均値と当日の観測値の間にある。
十分過去までとれば　Σr^i=1/(1-r)より
 E(0,∞)=(1-r)Σri^iS(i)　　　　ただしΣは0=1~∞
       =(1-r)S(0)+(1-r)Σr^iS(i)　ただしΣはi=1~∞
       =(1-r)S(0)+r(1-r)Σr^iS(i+1) ただしΣは0=1~∞
ゆえに
  E(0,∞)=(1-r)S(0)+rE(1,∞)
が成り立つ。

このことから、上記の性質が解る。

各 Si は、平均 m、分散 σ^2 の確率変数で、互いに独立であるとすると、E(0.∞)の期待値と分散は
 E(0.∞)の期待値=m
 E(0.∞)の分散　=σ^2(1-r)/(1+r)
である。
*資本市場のn日指数平滑平均 [#p444eaa4]
指数平滑平均の定数 r については、ちょっと奇妙な約束事がある。
r を次のように選んだとき、「 n日指数平滑平均」 と呼ぶのである。 
 r=(n-1)/(n+1)
たとえば、20日指数平滑平均とは、r = 19/21 のものを指す。

指数平滑移動平均 の変更点

指数平滑移動平均の変更点