#freeze
*ネイピア数：オイラー数 [#f9234655]
-文字 "e" による表記は、オイラーによるものである。オイラーは、指数関数 y=a^x が

 dy/dx=y
 
を満たすとき a = e であることや、1/x の積分として定義された自然対数の底でもあることを示した。従って一般には自然対数の底と呼ばれることが多い。

*e = exp(1) の素朴な求め方 [#vb2ea83e]
-定義式から
#ref(exp.png)

右辺は、ヤコブ・ベルヌーイによって、利子の複利計算との関連で言及されたものである。オイラーは、導関数がもとの関数と等しい指数関数の底が、上の等式の右辺によって求まることを示した。
-積分公式から
#ref(sekibunexp.png)
ゼロから１の間でオイラー法で積分を行う。キザミ巾を小さくすれば近づく。

*オイラー法とは：Euler's Method [#j19bc291]
微分方程式の数値積分計算法
-オイラー法で微分方程式 dy/dx=axy（a は任意の定数）を解くプログラムを作ってみましょう。初期値とaの値を入れたら後はオイラー法でひたすら数値積分していきます。その手順は、

 1.あるxでの傾き（dy/dx）を求める。これは、axyにその時点でのx, yを代入して計算するだけ。 
 2.ある一定の幅でxを増やし１に戻る。

-オイラー法（ーほう）(Euler's Method) とは、1階常微分方程式の数値解法の一つ。

1階常微分方程式と初期値x0,y0(=Y0)が与えられた場合に、x(n)=x(n-1)+h対するy(n)の近似値Y(n)は、以下のようにあらわされる。（ここでhは、0<hで小さい数である。）

 Y(n) = Y(n − 1) + hf(x(n − 1),Y(n − 1)) 
 （n=1,2,3,...）

*オイラー公式：世界で最も美しい公式 [#lc66cf5f]
-指数関数は、マクローリン展開して、
 ｅ^x=1+x+(1/2!)x^2+(1/3!)x^3+(1/4!)x^4…

と表せます。これにx=iθ（iは虚数単位）を代入すると、途中は飛ばしますが、
オイラーの定理
 e^(iθ)＝cosθ+i・sinθ

が導かれます。さらにこれにθ＝πを代入すると、e^(iπ)＝－１となります。
変形するとオイラー公式が得られます

 e^(iπ)+１＝0　

-数学の上で特に興味深い五つの数「e、π、i、0、1」が、ひとつの式で表わされています

*オイラーの定理；導出 [#bb2e989e]
歴史的にはオイラーはド・モアブルの定理を使って証明したようです。
ド・モアブルの定理から
 (cosθ+isinθ)^n ＝ cos(nθ)+isin(nθ)
 (cosθ-isinθ)^n ＝ cos(nθ)-isin(nθ)
なので、
 cos(nθ)=[(cosθ+isinθ)^n+(cosθ-isinθ)^n ]/2
となります。θ＝x/n　としnを非常に大きな数とすると、
 cosθ=cos(x/n)=cos0=1,sinθ=sin(x/n)=x/n
となるので、
 cosx＝cos(nθ)
 　　＝[(cosθ+isinθ)^n+(cosθ-isinθ)^n ]/2
 　　＝[(1+ix/n)^n+(1-ix/n)]/2
と変形できます。
nは非常に大きいという特徴を使うとネイピア数eは定義から、
 　　e^x=(1+x/n)^n
なので,xをix、－ixに置き換えて先ほどの式に代入すると、
 cosx＝[e^(iθ）+e^(-iθ)]/2
を示せる。同様に計算すると、
 sinx＝[e^(iθ）-e^(-iθ)]/2i
なので、
 cosx+isinx＝[e^(iθ）+e^(-iθ)]/2＋i[e^(iθ）-e^(-iθ)]/2i＝e^(iθ）
で、導けました。
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