正規分布の変更点

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*正規分布（Normal distribution)　とは [#bade0a3b]

確率変数Xが正規分布であるとは、確率密度関数が、平均　μ=E(x)と分散　V=σ^2=E(x-μx)^2 のみで特徴づけられる下記の分布である。N(μ,σ)で表わす。

#ref(NormalDistribution.png)

平均が零、分散が１の正規分布は、N(0,1)　標準正規分布と呼ばれる。
#ref(simpleNormal.png)

--ガウス分布とかベル曲線とも呼ばれる。

*中心極限定理 [#t5c8e2a6]

母集団が正規分布に従うとき、そこから独立に抽出した標本値(観測値)　xi,i=1~n　の平均値は、正規分布に従う。
 Lim(n-->大)(x1+x2+・・・・+xn)/n　--->　N(μ,σ/√n)
xが平均μ，標準偏差σの正規分布にしたがうならば，大きさnの無作為標本に基づく標本平均  は，平均μ，標準偏差 σ/√n の正規分布にしたがう。nが十分大きくなれば正規分布に収束する。
--正規分布にしたがうものは，平均であるということです。標本の分布が，正規分布になるのではありません。

--標準正規分布では、xが区間x-1.96とx+1.96の間にある確率は0.95である。言い換えれば、ほぼ95%の信頼性で、xは-1.96から+1.96と考えてよい。この区間を信頼区間と呼ぶ。

*信頼度と信頼区間 [#c0f92c85]
中心極限定理から、標本平均の信頼度が評価できます。

母集団の平均が、未知であるとき、標本平均から母集団の平均を推定する問題を考えましょう。

-例題：400 個の卵を無作為に抽出して重さを計ったところ，平均値は 38.5 であった。出荷された卵の平均重量を，信頼度 95% で推定せよ。母標準偏差 σ の値は σ=3.1g であるとする。
--解答：中心極限定理を使う。N(μ,σ/√n)に近いと考える。95%の信頼区間は、[μ-1.96σ/√n,μ+1.96σ/√n]　であるので、n=400,μ=38.5,σ=3.1　を代入して、μ-1.96σ/√n=38.2、μ+1.96σ/√n=38.8になるので''、「95%の信頼度で38.2g以上 38.8g以下である」''。　

*母分散の推定 [#i20af191]
前の問題では、母標準偏差が分かっている必要がありました。実際に母分散を知ることはできないので、標本の分散から推定せざるを得ません。

標本分散σx^2と母分散σ^2の関係式を見つけましょう。
 σx^2=Σ(xi-μx)^2/n=Σ(xi)^2/n-μx^2
この期待値がどのようにあらわされるかが問題である。

ここで、E(xi^2)を母平均μと母標準偏差σで表わす。
 E(xi^2)=E(xi-μ+μ)^2
        =E(xi-μ)^2+2E(xi-μ)μ+μ^2
        =σ^2+2μ・0+μ^2=σ^2+μ^2
またμx^2を母平均μと母標準偏差σで表わす。μx=Σxi/n=Σ(xiーμ)/n+μ　より
 E(μx^2]=E[(Σxi/n)^2]=E[Σ(xiーμ)/n+μ]^2
               =E[(1/n^2)ΣΣ(xiーμ)(xj-μ)+(1/n)2(Σμ・(xiーμ)/n)+μ^2]
E(xi-μ)^2=σ^2　かつiとjが異なるときE(xiーμ)(xjーμ)=0である。第2項も0になるので
 μx^2=(1/n^2)n σ^2+μ^2
これらを代入すれば
 E(σx^2)=E[Σ(xi)^2/n]-E[μx^2]
     =n(σ^2+μ^2)/n-　σ^2/n-μ^2
     =[(n-1)/n]・σ^2
ゆえに、σx^2は不偏推定量ではない。そこで、
　S^2=σx^2・n/(n-1)=Σ(xi-μx)^2/(n-1)
が、不偏推定量になる。

n が十分大きければ，E[σx]-σ2=-(1/n)σ2 となりますので，漸近的には不偏となりますので、問題は出ないかもしれません。

*条件付き期待値の定理 [#af2b2357]
条件付き期待値と分散の重要な定理
-2つの変量YとXが、正規分布に従うとする。この時、Yが観測されたという条件のもとでXを推定したい。そのため、条件付き分布は、どのようになるか？
 X,Y~N((mX,mY), S)
-Yが与えられたときのXの条件付分布は
 期待値= mX +(sxy/syy)(Y-my)
 分散= (syysxx-sxysyx)/syy=sxx-sxysyx/syy
-(解説)
--Yが観察されることにより、状態変数Xの分散はsxx からsxx-sxy*syx/syyに減少。その減少の度合いは共分散sxyに依存する。Yが観察されることによりｘの期待値は０から(Y-my)*sxy/syyに変化する。期待値の変化は(Y-my)と共分散sxyに依存する。条件付分散はYの値には依存しない。係数(sxy/syy)はいわゆる回帰係数
*参考 [#g69609aa]
-[[正規分布の条件付き確率と最小二乗法の関係>http://www1.parkcity.ne.jp/yone/math/mathB03_21.htm]]
--条件付き期待値の定理の証明が乗っています。
正規分布 の変更点

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