プロビット
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*プロビットとは:Probit [#w90c6a69] プロビットとは、累積正規分布P=Φ(z)で確率Pを得たとき、その値を与えるZのことです。 プロビット関数とは、逆関数 Z=Φ -1(p)のことです。 よく知られるように、25%(p=0.25)では、Z=-1.96になります。 正規分布(N(0,1))の場合、平均が0、標準偏差が1です。値zが、-1.96以下が25%、区間-1.96から0に入るのが25%、0から+1.96が25%、1.96以上が25%の分布になっています。 *ペストとプロビット分析 [#gc386f3a] The probit function is the inverse cumulative distribution function (CDF). For the standard normal distribution (often denoted N(0,1)), the CDF is commonly denoted Φ(z). Φ(z) is a continuous, monotone increasing sigmoid function whose domain is the real line and range is (0,1). As an example, consider the familiar fact that the N(0,1) distribution places 95% of probability between -1.96 and 1.96, and is symmetric around zero. It follows that Φ(-1.96)=0.25 . the probit function is the inverse of Φ(z), denoted Φ -1(p). The idea of probit was published in 1934 by Chester Ittner Bliss (1899-1979) in an article in Science on how to treat data such as the percentage of a pest killed by a pesticide. *2項応答モデルの回帰分析:Binary Response Model [#s01b97eb] 2通りの応答が考えられるとしましょう。たとえば、(好き,嫌い)とか(買う,買わない)の応答です。 商品を例にあげれば、重さと値段などの説明変数 xi,i=1~m でこの応答を予測する場合、 Probit(p)=a0+a1x1+a2x2+a3x3+・・・・amXm のように、「何割の人が応答するか?」を推定することがよくあります。 --このような分析をプロビット分析といいます。また、この回帰式で応答を予測するのをプロビット予測といいます。 *代替案の比較分析:一対比較モデル分析 [#q95af686] 一対の代替案を提示して、どちらがよいか答える場合を想定しましょう。 --住宅購入の場合は、広さ、通勤距離、日当たり、値段などがXiであらわせるでしょう。 各案は、特性(x1,x2,・・・,xm)であらわされるとして、案の良さ(効用)が、線形関数で表示されるとしましょう。 U(x)= a0+a1x1+・・・・+amxm A案とB案の効用の差は Ua-Ub=a1(xa1-xb1)+a2(xa2-xb2)+・・・・・+am(xam-xbm) 効用の差に応じて、どちらかの案を選択するならば、 Probit(p)= Ua-Ub=a1(xa1-xb1)+a2(xa2-xb2)+・・・・・+am(xam-xbm) というモデルが考えられます。 観測されたPj,(xa1j,Xb1j)・・・・(xamj,Xbmj),j=1~n のデータを用いて、線形重回帰分析で モデルの未知パラメータ(a1,a2,・・・,am)と標準偏差σを推定すれば、モデル完成です。
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*プロビットとは:Probit [#w90c6a69] プロビットとは、累積正規分布P=Φ(z)で確率Pを得たとき、その値を与えるZのことです。 プロビット関数とは、逆関数 Z=Φ -1(p)のことです。 よく知られるように、25%(p=0.25)では、Z=-1.96になります。 正規分布(N(0,1))の場合、平均が0、標準偏差が1です。値zが、-1.96以下が25%、区間-1.96から0に入るのが25%、0から+1.96が25%、1.96以上が25%の分布になっています。 *ペストとプロビット分析 [#gc386f3a] The probit function is the inverse cumulative distribution function (CDF). For the standard normal distribution (often denoted N(0,1)), the CDF is commonly denoted Φ(z). Φ(z) is a continuous, monotone increasing sigmoid function whose domain is the real line and range is (0,1). As an example, consider the familiar fact that the N(0,1) distribution places 95% of probability between -1.96 and 1.96, and is symmetric around zero. It follows that Φ(-1.96)=0.25 . the probit function is the inverse of Φ(z), denoted Φ -1(p). The idea of probit was published in 1934 by Chester Ittner Bliss (1899-1979) in an article in Science on how to treat data such as the percentage of a pest killed by a pesticide. *2項応答モデルの回帰分析:Binary Response Model [#s01b97eb] 2通りの応答が考えられるとしましょう。たとえば、(好き,嫌い)とか(買う,買わない)の応答です。 商品を例にあげれば、重さと値段などの説明変数 xi,i=1~m でこの応答を予測する場合、 Probit(p)=a0+a1x1+a2x2+a3x3+・・・・amXm のように、「何割の人が応答するか?」を推定することがよくあります。 --このような分析をプロビット分析といいます。また、この回帰式で応答を予測するのをプロビット予測といいます。 *代替案の比較分析:一対比較モデル分析 [#q95af686] 一対の代替案を提示して、どちらがよいか答える場合を想定しましょう。 --住宅購入の場合は、広さ、通勤距離、日当たり、値段などがXiであらわせるでしょう。 各案は、特性(x1,x2,・・・,xm)であらわされるとして、案の良さ(効用)が、線形関数で表示されるとしましょう。 U(x)= a0+a1x1+・・・・+amxm A案とB案の効用の差は Ua-Ub=a1(xa1-xb1)+a2(xa2-xb2)+・・・・・+am(xam-xbm) 効用の差に応じて、どちらかの案を選択するならば、 Probit(p)= Ua-Ub=a1(xa1-xb1)+a2(xa2-xb2)+・・・・・+am(xam-xbm) というモデルが考えられます。 観測されたPj,(xa1j,Xb1j)・・・・(xamj,Xbmj),j=1~n のデータを用いて、線形重回帰分析で モデルの未知パラメータ(a1,a2,・・・,am)と標準偏差σを推定すれば、モデル完成です。
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