オイラーの方程式
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*変分法:汎関数とは [#x18bb5eb]
変分法 Calculus of variations は、汎関数の極値問題の解法...
Calculus of variations is a field of mathematics that dea...
*汎関数とは [#la1c58b6]
-ある関数y(x) に対して1 つの値F が対応するとき、F はy の...
-y(x) の微小な変化量δy に対するF[y] の変化量F[y + δy] − F...
-y0(x) に近い関数の中でF[y0] が最大(最小) をとるときF[y0]...
このように、関数に対して1次元の値をあたえる最適化問題、た...
-In mathematics, a functional is traditionally a map from...
In functional analysis, the functional is also used in a ...
*オイラーの方程式 [#kbb11171]
定数a、b に対してF[y(x)] = ∫a-b f(x, y, y')dx という形...
#ref(henbun1.JPG)
-変分δF
変分δF は、
δF = F[y + δy] − F[y]
=∫ f(x, y + δy, y' + δ(y'))dx − ∫ f(x, y, y')dx
=∫ [∂f/∂y δy + ∂f/∂yδ(y')]dx
とできて、δ(y') = (y + δy)' − y'= d/dx(y + δy)-d/dx(y)...
δF =∫ [∂f/∂yδy +∂f/∂y'd/dx(δy)]dx
=∫ [∂f/∂yδy − δyd/dx∂f/∂y']dx+ ∂f/∂y'δya->b
=∫ [∂f/∂y −d/dx∂f/∂y']δy dx
2番目の式では部分積分を用いています。a、b は固定されてい...
y の変化量δy は任意に選ぶことができるので、F が極値をとる...
''∂f/∂y −d/dx∂f/∂y'=0 これをオイラーの方程式と呼びま...
*例題1:2点を結ぶ最短の曲線は、直線である [#ydb1d977]
平面上の2定点を結ぶ曲線の長さLは
L=F(y) = ∫a-b (1 + y'^2)^1/2 dx
で表わされる。
f=[1 + y'^2]^1/2とおくと、∂f/∂y=0、∂f/∂y'=1/2・(1 + ...
d/dx[y'(1 + y'^2)^-1/2]=0
y''=0 となり、yが直線の場合である。
-Perhaps the simplest example of such a problem is to fin...
*例題2:懸垂曲線 [#ed8944d8]
カテナリー曲線 カテナリとは、電車線のことをさすが、もとも...
#ref(catenary.gif)
物理的なポテンシャルが最小になるような変分問題です。
線密度ρ、長さLのひもの両端を固定して垂らした場合のポテン...
E=F(y)=∫a->b gρy ds =∫a->b gρy(1 + y'^2)^1/2dx
の極値を求めればよい。簡単のためgρ = 1 とおくと f=y(1 +...
∂f/∂y =(1 + y'^2)^1/2
∂f/∂y'=y・y'(1 + y'^2)^1/2
オイラーの公式に代入
(1 + y'^2)^1/2+d/dx[y・y'(1 + y'^2)^1/2]=0
この形は見通しが悪く, 積分を実行する際に厄介なので、オイ...
*オイラーの方程式の書き換え [#o19297a5]
f(x, y, y')を全微分すると
df=∂f/∂xdx+∂f/∂ydy+∂f/∂y'dy'
両辺をdxで割る
df/dx=∂f/∂x+∂f/∂y・y'+∂f/∂y'・y''
懸垂線の問題がそうであるように) ラグランジアンがx に陽に...
df/dx=∂f/∂y・y'+ ∂f/∂y'・y''
であり, 左辺は独立変数y'', y' の関数である.
そこで, 次の恒等式を用いて, 一方の独立変数yxx を消去する...
d/dx(y'∂f/∂y')=∂f/∂y'・y''+d/dx(∂f/∂y')y'
上のふたつの式から 辺ごとに差し引くと
d/dx[f-y'∂f/∂y']=y'[∂f/∂y - d/dx(∂f/∂y')]=0
が得られる. ここで, 最後の等式はオイラー・ラグランジュ方...
''オイラー方程式の代わりに 下記の式を用いてもよい。''
f-y'∂f/∂y'=Co Coは定数
*The Beltrami Identity [#pe83321f]
Frequently in physical problems, it turns out that . In t...
#ref(calculusVariation.png)
where C is a constant. The left hand side is the Legendre...
参考:[[変分法>http://en.wikipedia.org/wiki/Calculus_of_v...
*懸垂線問題の解 [#tfb98205]
f=y(1 + y'^2)^1/2 を 上の式に適用する。と直ちに
y(1 + y'^2)^1/2=C
二乗して書き直すと
y'=(y^2-c^2)/c^2
これは変数分離型の微分方程式であり
dx=c^2/(y^2-c^2)dy
であり, 後は右辺の積分が実行できればよい. そこで, y = c c...
x = c ∫dy'= cy'+ c1
すなわち
y' = (x − c1)/c= cosh-1(y/c)
となるので, これをy について解いて
y = c cosh[(x-c1)/c]
--懸垂線:c = 1, c1 = 0 の場合
#ref(kensui.JPG)
*解説 [#v5816b0c]
オイラー・ラグランジュ方程式というのはニュートンの運動方...
トンの方程式と違うところはどんな座標系を選ぼうともオイラ...
ことです。これがオイラー・ラグランジュ方程式の利点で、ニ...
座標とか極座標) によって形を変えてしまうということがおき...
ざ物理量でもないラグランジアンL(q; q˙) というのを定義して...
*参考 [#a975e9d3]
-[[仮想仕事の原理とオイラー・ラグランジェ方程式>http://hb...
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*変分法:汎関数とは [#x18bb5eb]
変分法 Calculus of variations は、汎関数の極値問題の解法...
Calculus of variations is a field of mathematics that dea...
*汎関数とは [#la1c58b6]
-ある関数y(x) に対して1 つの値F が対応するとき、F はy の...
-y(x) の微小な変化量δy に対するF[y] の変化量F[y + δy] − F...
-y0(x) に近い関数の中でF[y0] が最大(最小) をとるときF[y0]...
このように、関数に対して1次元の値をあたえる最適化問題、た...
-In mathematics, a functional is traditionally a map from...
In functional analysis, the functional is also used in a ...
*オイラーの方程式 [#kbb11171]
定数a、b に対してF[y(x)] = ∫a-b f(x, y, y')dx という形...
#ref(henbun1.JPG)
-変分δF
変分δF は、
δF = F[y + δy] − F[y]
=∫ f(x, y + δy, y' + δ(y'))dx − ∫ f(x, y, y')dx
=∫ [∂f/∂y δy + ∂f/∂yδ(y')]dx
とできて、δ(y') = (y + δy)' − y'= d/dx(y + δy)-d/dx(y)...
δF =∫ [∂f/∂yδy +∂f/∂y'd/dx(δy)]dx
=∫ [∂f/∂yδy − δyd/dx∂f/∂y']dx+ ∂f/∂y'δya->b
=∫ [∂f/∂y −d/dx∂f/∂y']δy dx
2番目の式では部分積分を用いています。a、b は固定されてい...
y の変化量δy は任意に選ぶことができるので、F が極値をとる...
''∂f/∂y −d/dx∂f/∂y'=0 これをオイラーの方程式と呼びま...
*例題1:2点を結ぶ最短の曲線は、直線である [#ydb1d977]
平面上の2定点を結ぶ曲線の長さLは
L=F(y) = ∫a-b (1 + y'^2)^1/2 dx
で表わされる。
f=[1 + y'^2]^1/2とおくと、∂f/∂y=0、∂f/∂y'=1/2・(1 + ...
d/dx[y'(1 + y'^2)^-1/2]=0
y''=0 となり、yが直線の場合である。
-Perhaps the simplest example of such a problem is to fin...
*例題2:懸垂曲線 [#ed8944d8]
カテナリー曲線 カテナリとは、電車線のことをさすが、もとも...
#ref(catenary.gif)
物理的なポテンシャルが最小になるような変分問題です。
線密度ρ、長さLのひもの両端を固定して垂らした場合のポテン...
E=F(y)=∫a->b gρy ds =∫a->b gρy(1 + y'^2)^1/2dx
の極値を求めればよい。簡単のためgρ = 1 とおくと f=y(1 +...
∂f/∂y =(1 + y'^2)^1/2
∂f/∂y'=y・y'(1 + y'^2)^1/2
オイラーの公式に代入
(1 + y'^2)^1/2+d/dx[y・y'(1 + y'^2)^1/2]=0
この形は見通しが悪く, 積分を実行する際に厄介なので、オイ...
*オイラーの方程式の書き換え [#o19297a5]
f(x, y, y')を全微分すると
df=∂f/∂xdx+∂f/∂ydy+∂f/∂y'dy'
両辺をdxで割る
df/dx=∂f/∂x+∂f/∂y・y'+∂f/∂y'・y''
懸垂線の問題がそうであるように) ラグランジアンがx に陽に...
df/dx=∂f/∂y・y'+ ∂f/∂y'・y''
であり, 左辺は独立変数y'', y' の関数である.
そこで, 次の恒等式を用いて, 一方の独立変数yxx を消去する...
d/dx(y'∂f/∂y')=∂f/∂y'・y''+d/dx(∂f/∂y')y'
上のふたつの式から 辺ごとに差し引くと
d/dx[f-y'∂f/∂y']=y'[∂f/∂y - d/dx(∂f/∂y')]=0
が得られる. ここで, 最後の等式はオイラー・ラグランジュ方...
''オイラー方程式の代わりに 下記の式を用いてもよい。''
f-y'∂f/∂y'=Co Coは定数
*The Beltrami Identity [#pe83321f]
Frequently in physical problems, it turns out that . In t...
#ref(calculusVariation.png)
where C is a constant. The left hand side is the Legendre...
参考:[[変分法>http://en.wikipedia.org/wiki/Calculus_of_v...
*懸垂線問題の解 [#tfb98205]
f=y(1 + y'^2)^1/2 を 上の式に適用する。と直ちに
y(1 + y'^2)^1/2=C
二乗して書き直すと
y'=(y^2-c^2)/c^2
これは変数分離型の微分方程式であり
dx=c^2/(y^2-c^2)dy
であり, 後は右辺の積分が実行できればよい. そこで, y = c c...
x = c ∫dy'= cy'+ c1
すなわち
y' = (x − c1)/c= cosh-1(y/c)
となるので, これをy について解いて
y = c cosh[(x-c1)/c]
--懸垂線:c = 1, c1 = 0 の場合
#ref(kensui.JPG)
*解説 [#v5816b0c]
オイラー・ラグランジュ方程式というのはニュートンの運動方...
トンの方程式と違うところはどんな座標系を選ぼうともオイラ...
ことです。これがオイラー・ラグランジュ方程式の利点で、ニ...
座標とか極座標) によって形を変えてしまうということがおき...
ざ物理量でもないラグランジアンL(q; q˙) というのを定義して...
*参考 [#a975e9d3]
-[[仮想仕事の原理とオイラー・ラグランジェ方程式>http://hb...
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