カルマンフィルタ
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開始行:
*カルマンフィルター とは? [#v66a7d99]
離散的な観測値を用いて、ある動的システムの状態を推定する...
時々刻々と得られる観測データに基づき、実際の観測値 と直前...
される観測値のずれを用いて、システムの状態を補正して推定...
-推定には、
--予測:prediction 現在(t=t0)までの情報に基づき、未来(t>t...
--ろ波:filtering 現在(t=t0)の情報に基づき、現在(t=t0)の...
--平滑:smoothing 現在(t=t0)までの情報に基づき、過去(t<t0...
がある。カルマンフィルターは、現在(t=t0)の情報に基づき、...
--この状態推定値がわかれば、予測は状態推移式を用いて容易...
''カルマンフィルターをベイズの定理から、最尤推定法で導出...
-線形の入出力系を前提とし、その状態変数が確率的挙動を示す。
-状態変数とは、位置、速度、加速度のようなダイナミクスを示...
-このフィルターはルドルフ・カルマンによって提唱された。カ...
*状態方程式と観測式 [#jab9b08f]
フィルタリングとは、時刻kまでの入出力の観測データを用いて...
-''状態推移式''とは、システムの状態の遷移を記述する状態方...
xk+1 = Fkxk+Gkuk 1式
xk:時刻kでの状態ベクトル
uk:時刻kでの入力(誤差を含む)
-観測値とは、状態の一部またはその線形関数で表わされるとす...
--これを''観測式''と呼ぶ。
yk = Hkxk+vk 2式
yk:観測ベクトル
vk:観測誤差ベクトル
-以下の展開では、uk,vkは互いに独立な白色正規性の確率変数...
--平均0、共分散は
E(uku'j)=Qkδkj、E(vkv'j)=Rkδkj、E(ukvj)=0。 3式
Qk、Rkは正定行列とする。
--入力ukの平均を%%%uk%%%としても以下の議論は成立するので...
--初期状態x0は、平均μ0、共分散Voの正規分布であり、uk、vk...
''レーダーやコンピュータビジョンなど、工学分野のみならず...
*条件付き確率密度関数と尤度:ベイズの定理 [#w298a6ef]
観測{yt},t=0~nが与えられた時、状態{xt},t=0~n の条件付...
Px|y(x0,...,xn|yo,...yn)
= py|x(y0,...,yn|x0,...,xn)・px(x0,...,xn)/py(y0,...,yn)...
vkの密度関数をPvk(・)とすると 2式より
py|x(y0,...,yn|x0,...,xn)= Π Pvk(yk-Hkxk) 5式
Π は、k=0からnまでの積
次に、1式のマルコフ性により
px(x0,x1,....,xn)=P0(x0)p1(x1|x0)p2(x2|x1)....pn(xn|xn-1...
が成立する。
そして、1式より Pk(xk+1|xk)は、平均FkXk、共分散GkQkG'k ...
pvk(・)もPk(・)もいずれも正規分布であるので、過去の観測値...
Px|y(x0,...,xn|yo,...yn)
=C(y0,...,yn)・EXP{-(1/2)Σ[yk-Hkxk]'Rk^(-1)[yk-Hkxk]-(1...
-(1/2)Σ[xk-Fkxk]'(G'kQkGk)^(-1)[xk-Fkxk] } 7式
但し、C(y0,...,yn)は、正規化の係数。
''上式は、観測値が与えられた場合の事後確率であり、これを...
--正規分布の場合、尤度の最大化と推定誤差二乗和の最小化は...
カルマンフィルタとは、各ステップ毎のシステムのプロセス情...
用いて観測誤差の事後分布の共分散を最小にするような推定を...
*最尤推定問題の書き換え [#x6160d3d]
以上より、最尤推定問題は、下記の2次形式を最小とするような...
Jn(x0,..,xn)= (1/2)Σ[yk-Hkxk]'Rk^(-1)[yk-Hkxk]+(1/2)[xo-...
+(1/2)Σ[xk-Fkxk]'(G'kQkGk)^(-1)[xk-Fkxk] 8式
-これを最小とする状態推定値を{x*0,...,x*n-1,x*n}で表わ...
--{x*0,...,x*n-1}は、n期までのデータに基づく最適スムー...
--X*nは、n期までのデータに基づくn期の最適推定値(フィルタ...
''上記の問題は、所与の{yk},k=1~nとxk+1 = Fkxk+Gkuk の制...
制約式のラグランジェ未定乗数ベクトルをλkとすれば、次のラ...
Ln(u0,...un)=(1/2)[xo-μ0]'V0^(-1)[xo-μ0]+(1/2)Σ[yk-Hkxk]...
+Σ{(1/2)u'kQk^(-1)uk + λ'k(xk+1-Fkxk-Gkuk)}...
--最初のΣはk=1,nまでの和、次のΣはk=1,n-1までの和。
*2点境界値問題 [#h695bbd9]
上の式で、k期の観測誤差の分散を
Hk(xk,uk)= (1/2)[yk-Hkxk]'Rk^(-1)[yk-Hkxk]+(1/2)u'kQk^(-...
と置くと、
Ln(u0,...un)=(1/2)[xo-μ0]'Vk^(-1)[xo-μ0]+Σ{Hk(xk,uk)+λ'...
+(1/2)[yn-Hnxn]'Rn^(-1)[yn-Hnxn]
=(1/2)[xo-μ0]'V0^(-1)[xo-μ0]+H0(x0,y0)+Σ{Hk...
+(1/2)[yn-Hnxn]'Rn^(-1)[yn-Hnxn]+λ'n-1xn...
と表わされる。
これを最小化するukは、 Hk(xk,uk)を最小化するukを求めれば...
10式より、容易に u*k=QkG'λk の時最小となり、その最小...
H*k=(1/2)[yn-Hnxn]'Rn^(-1)[yn-Hnxn]-λ'kFkXk-(1/2)λ'kGkQk...
となる。
次に 11式を最小にするXkを X*k|nとすると、xk+1 = Fkxk+...
x*k+1|n = Fk xk|n + GkQkG'kλk k=0,1,...,n-1 12式
λk-1= F'k λk +H'kR^(-1){yk-Hk x*k|n}k=0,1,...,n ...
境界条件は明らかに次式で与えられる。
λn=0 1...
V0^(-1){x*0|n-μ0}=H'0R^(-1){yo-H0x*0|n}+F'0λ0 1...
''最適推定値x*k|nは、yo,...,ynの観測データが与えられた下...
*平滑(スムージング)問題とフィルタリング問題の解 [#hec1b...
まず、15式をx*0|nについて解く。
x*0|n = μ0+[I+V0H'0R^(-1)H0]^(-1)V0H'0R0^(-1)(y0-H0μ0) ...
ここで
P0=[I+V0H'0R0^(-1)H0]^(-1)V0 ...
と置く。
x*0|0=μ0+P0H'0R0^(-1)(y0-H0μ0) ...
であることに注目すれば
x*0|n=x*0|0 + P0F'0λ0 19式
になる。
この結果から、2点境界値問題の解は、帰納法的に次式で与えら...
x*k|n = x*k|k + PkF'kλk 20式
但し、Pk=[I+VkH'kRk^(-1)Hk]^(-1)Vk 21...
Vk+1=FkVkF'k + GkQkG'k 21...
x*k+1|k+1 = Fk x*k|k + Pk+1H'k+1Rk+1^(-1)[yk+1-Hk+...
-証明
以下で、帰納法で証明する。まず20式が成立すると仮定すれば2...
20式を12式に代入する。
x*k+1|n=Fkx*k|k+[FkPkF'k+GkQkG'k]λk = Fk x*k|k+Vk+1λk
=Fk x*k|k +Pk+1λk + Vk+1H'Rk+1^(-1)Hk+1Pk+1λk ...
13式に23式を代入する。
λk = F'k+1λk+1 + H'Rk+1^(-1)[yk+1-Hk+1FkX*k|k]
-H'k+1Rk+1^(-1)Hk+1vk+1λk 2...
24式を23式に代入して整理する。
x*k+1|n=Fk x*k|k +Pk{F'k+1λk+1 + H'Rk+1^(-1)[yk+1-Hk+1Fk...
- Pk+1H'k+1Rk+1^(-1)Hk+1Vk+1λk + Vk+1H'k+1Rk+1^(-...
=x*k+1|k+1 + Pk+1F'k+1λk+1
- {(PH'R^(-1)HV)k+1 - (VH'R^(-1)HP)k+1]λk 25式
一方、21式より、Pk=[vk^(-1)+H'kRk^(-1)Hk]^(-1)であるの...
また
Pk+1 + (VH'R^(-1)HP)k+1 =Vk+1 26式
の両辺の転置をとり、もとの式と比較すると容易に
(PH'R^(-1)HV)k+1 = (VH'R^(-1)HP)k+1
が確かめられる。
これを用いれば、25式は
x*k+1|n= =x*k+1|k+1 + Pk+1F'k+1λk+1
となるので20式が k+1でも成立している。
*カルマンフィルターの式の要約 [#x7a72e1d]
21式と22式である。再度、以下に記す。
x*k+1|k+1 = Fk x*k|k + Pk+1H'k+1Rk+1^(-1)[yk+1-Hk+1FkX*k...
Pk=[I+VkH'kRk^(-1)Hk]^(-1)Vk
Vk+1=FkVkF'k + GkQkG'k
*平滑問題の式の要約 [#m455c67e]
13式と20式を用いて求められる。
x*k|n = x*k|k + PkF'kλk
λk-1= F'k λk +H'kR^(-1){yk-Hk x*k|n}k=0,1,...,n
*関連文献 [#p9af3809]
-[[予測と推定の計算理論的基礎.pdf>http://www.jnns.org/nis...
-[[R.E. Kalman , A new approach to linear filtering and p...
-[[R.E. Kalman ,Contributions to the Theory of Optimal Co...
-[[R.E. KALMAN, “On the general theory of control systems...
-R.E. Kalman, When is a linear control system optimal?, T...
ASME, Journal of Basic Engineering, Series D, 86 (1964), ...
終了行:
*カルマンフィルター とは? [#v66a7d99]
離散的な観測値を用いて、ある動的システムの状態を推定する...
時々刻々と得られる観測データに基づき、実際の観測値 と直前...
される観測値のずれを用いて、システムの状態を補正して推定...
-推定には、
--予測:prediction 現在(t=t0)までの情報に基づき、未来(t>t...
--ろ波:filtering 現在(t=t0)の情報に基づき、現在(t=t0)の...
--平滑:smoothing 現在(t=t0)までの情報に基づき、過去(t<t0...
がある。カルマンフィルターは、現在(t=t0)の情報に基づき、...
--この状態推定値がわかれば、予測は状態推移式を用いて容易...
''カルマンフィルターをベイズの定理から、最尤推定法で導出...
-線形の入出力系を前提とし、その状態変数が確率的挙動を示す。
-状態変数とは、位置、速度、加速度のようなダイナミクスを示...
-このフィルターはルドルフ・カルマンによって提唱された。カ...
*状態方程式と観測式 [#jab9b08f]
フィルタリングとは、時刻kまでの入出力の観測データを用いて...
-''状態推移式''とは、システムの状態の遷移を記述する状態方...
xk+1 = Fkxk+Gkuk 1式
xk:時刻kでの状態ベクトル
uk:時刻kでの入力(誤差を含む)
-観測値とは、状態の一部またはその線形関数で表わされるとす...
--これを''観測式''と呼ぶ。
yk = Hkxk+vk 2式
yk:観測ベクトル
vk:観測誤差ベクトル
-以下の展開では、uk,vkは互いに独立な白色正規性の確率変数...
--平均0、共分散は
E(uku'j)=Qkδkj、E(vkv'j)=Rkδkj、E(ukvj)=0。 3式
Qk、Rkは正定行列とする。
--入力ukの平均を%%%uk%%%としても以下の議論は成立するので...
--初期状態x0は、平均μ0、共分散Voの正規分布であり、uk、vk...
''レーダーやコンピュータビジョンなど、工学分野のみならず...
*条件付き確率密度関数と尤度:ベイズの定理 [#w298a6ef]
観測{yt},t=0~nが与えられた時、状態{xt},t=0~n の条件付...
Px|y(x0,...,xn|yo,...yn)
= py|x(y0,...,yn|x0,...,xn)・px(x0,...,xn)/py(y0,...,yn)...
vkの密度関数をPvk(・)とすると 2式より
py|x(y0,...,yn|x0,...,xn)= Π Pvk(yk-Hkxk) 5式
Π は、k=0からnまでの積
次に、1式のマルコフ性により
px(x0,x1,....,xn)=P0(x0)p1(x1|x0)p2(x2|x1)....pn(xn|xn-1...
が成立する。
そして、1式より Pk(xk+1|xk)は、平均FkXk、共分散GkQkG'k ...
pvk(・)もPk(・)もいずれも正規分布であるので、過去の観測値...
Px|y(x0,...,xn|yo,...yn)
=C(y0,...,yn)・EXP{-(1/2)Σ[yk-Hkxk]'Rk^(-1)[yk-Hkxk]-(1...
-(1/2)Σ[xk-Fkxk]'(G'kQkGk)^(-1)[xk-Fkxk] } 7式
但し、C(y0,...,yn)は、正規化の係数。
''上式は、観測値が与えられた場合の事後確率であり、これを...
--正規分布の場合、尤度の最大化と推定誤差二乗和の最小化は...
カルマンフィルタとは、各ステップ毎のシステムのプロセス情...
用いて観測誤差の事後分布の共分散を最小にするような推定を...
*最尤推定問題の書き換え [#x6160d3d]
以上より、最尤推定問題は、下記の2次形式を最小とするような...
Jn(x0,..,xn)= (1/2)Σ[yk-Hkxk]'Rk^(-1)[yk-Hkxk]+(1/2)[xo-...
+(1/2)Σ[xk-Fkxk]'(G'kQkGk)^(-1)[xk-Fkxk] 8式
-これを最小とする状態推定値を{x*0,...,x*n-1,x*n}で表わ...
--{x*0,...,x*n-1}は、n期までのデータに基づく最適スムー...
--X*nは、n期までのデータに基づくn期の最適推定値(フィルタ...
''上記の問題は、所与の{yk},k=1~nとxk+1 = Fkxk+Gkuk の制...
制約式のラグランジェ未定乗数ベクトルをλkとすれば、次のラ...
Ln(u0,...un)=(1/2)[xo-μ0]'V0^(-1)[xo-μ0]+(1/2)Σ[yk-Hkxk]...
+Σ{(1/2)u'kQk^(-1)uk + λ'k(xk+1-Fkxk-Gkuk)}...
--最初のΣはk=1,nまでの和、次のΣはk=1,n-1までの和。
*2点境界値問題 [#h695bbd9]
上の式で、k期の観測誤差の分散を
Hk(xk,uk)= (1/2)[yk-Hkxk]'Rk^(-1)[yk-Hkxk]+(1/2)u'kQk^(-...
と置くと、
Ln(u0,...un)=(1/2)[xo-μ0]'Vk^(-1)[xo-μ0]+Σ{Hk(xk,uk)+λ'...
+(1/2)[yn-Hnxn]'Rn^(-1)[yn-Hnxn]
=(1/2)[xo-μ0]'V0^(-1)[xo-μ0]+H0(x0,y0)+Σ{Hk...
+(1/2)[yn-Hnxn]'Rn^(-1)[yn-Hnxn]+λ'n-1xn...
と表わされる。
これを最小化するukは、 Hk(xk,uk)を最小化するukを求めれば...
10式より、容易に u*k=QkG'λk の時最小となり、その最小...
H*k=(1/2)[yn-Hnxn]'Rn^(-1)[yn-Hnxn]-λ'kFkXk-(1/2)λ'kGkQk...
となる。
次に 11式を最小にするXkを X*k|nとすると、xk+1 = Fkxk+...
x*k+1|n = Fk xk|n + GkQkG'kλk k=0,1,...,n-1 12式
λk-1= F'k λk +H'kR^(-1){yk-Hk x*k|n}k=0,1,...,n ...
境界条件は明らかに次式で与えられる。
λn=0 1...
V0^(-1){x*0|n-μ0}=H'0R^(-1){yo-H0x*0|n}+F'0λ0 1...
''最適推定値x*k|nは、yo,...,ynの観測データが与えられた下...
*平滑(スムージング)問題とフィルタリング問題の解 [#hec1b...
まず、15式をx*0|nについて解く。
x*0|n = μ0+[I+V0H'0R^(-1)H0]^(-1)V0H'0R0^(-1)(y0-H0μ0) ...
ここで
P0=[I+V0H'0R0^(-1)H0]^(-1)V0 ...
と置く。
x*0|0=μ0+P0H'0R0^(-1)(y0-H0μ0) ...
であることに注目すれば
x*0|n=x*0|0 + P0F'0λ0 19式
になる。
この結果から、2点境界値問題の解は、帰納法的に次式で与えら...
x*k|n = x*k|k + PkF'kλk 20式
但し、Pk=[I+VkH'kRk^(-1)Hk]^(-1)Vk 21...
Vk+1=FkVkF'k + GkQkG'k 21...
x*k+1|k+1 = Fk x*k|k + Pk+1H'k+1Rk+1^(-1)[yk+1-Hk+...
-証明
以下で、帰納法で証明する。まず20式が成立すると仮定すれば2...
20式を12式に代入する。
x*k+1|n=Fkx*k|k+[FkPkF'k+GkQkG'k]λk = Fk x*k|k+Vk+1λk
=Fk x*k|k +Pk+1λk + Vk+1H'Rk+1^(-1)Hk+1Pk+1λk ...
13式に23式を代入する。
λk = F'k+1λk+1 + H'Rk+1^(-1)[yk+1-Hk+1FkX*k|k]
-H'k+1Rk+1^(-1)Hk+1vk+1λk 2...
24式を23式に代入して整理する。
x*k+1|n=Fk x*k|k +Pk{F'k+1λk+1 + H'Rk+1^(-1)[yk+1-Hk+1Fk...
- Pk+1H'k+1Rk+1^(-1)Hk+1Vk+1λk + Vk+1H'k+1Rk+1^(-...
=x*k+1|k+1 + Pk+1F'k+1λk+1
- {(PH'R^(-1)HV)k+1 - (VH'R^(-1)HP)k+1]λk 25式
一方、21式より、Pk=[vk^(-1)+H'kRk^(-1)Hk]^(-1)であるの...
また
Pk+1 + (VH'R^(-1)HP)k+1 =Vk+1 26式
の両辺の転置をとり、もとの式と比較すると容易に
(PH'R^(-1)HV)k+1 = (VH'R^(-1)HP)k+1
が確かめられる。
これを用いれば、25式は
x*k+1|n= =x*k+1|k+1 + Pk+1F'k+1λk+1
となるので20式が k+1でも成立している。
*カルマンフィルターの式の要約 [#x7a72e1d]
21式と22式である。再度、以下に記す。
x*k+1|k+1 = Fk x*k|k + Pk+1H'k+1Rk+1^(-1)[yk+1-Hk+1FkX*k...
Pk=[I+VkH'kRk^(-1)Hk]^(-1)Vk
Vk+1=FkVkF'k + GkQkG'k
*平滑問題の式の要約 [#m455c67e]
13式と20式を用いて求められる。
x*k|n = x*k|k + PkF'kλk
λk-1= F'k λk +H'kR^(-1){yk-Hk x*k|n}k=0,1,...,n
*関連文献 [#p9af3809]
-[[予測と推定の計算理論的基礎.pdf>http://www.jnns.org/nis...
-[[R.E. Kalman , A new approach to linear filtering and p...
-[[R.E. Kalman ,Contributions to the Theory of Optimal Co...
-[[R.E. KALMAN, “On the general theory of control systems...
-R.E. Kalman, When is a linear control system optimal?, T...
ASME, Journal of Basic Engineering, Series D, 86 (1964), ...
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