ギャンブラー破産問題
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開始行:
*ルーレットはマルコフ過程 [#c3195038]
破産する確率を求めてみましょう。
吸収壁(破産したらそのまま停止)のある場合のマルコフ過程の...
*賭博者破産の法則 [#scbe2aee]
成功確率が p である試行を n 回繰り返したときに i 回成功す...
*ギャンブラー破産問題とは gambler's ruin problem [#oe44e...
The term gambler's ruin is used for a number of related s...
*例題 [#zb33c33d]
Consider a gambling situation involving two players A and...
a "guest" and player B is the "house." During any one pla...
player A wins a chip (or coin) from player B, and a proba...
The players begin with initial holdings of a and b chips,...
chips. What is the probability that player A wins?
#ref(gamblerRuin.JPG)
ルーレット
ルーレットのウィール(Wheel)の近くには、0および1から36ま...
-1回1枚だけかける場合
勝率 1/37 (37ポケットだから、特定のポケットに落ちる確...
勝ち点 36 (ポケットに落ちた時、貰える枚数は、36枚)
以上から、
期待値は、1/37 * 36 = 36/37 (期待値は、1枚掛けて、36/3...
*解法 [#j7965928]
To solve this classic problem, consider the general situa...
a+b-k chips. Denote the probability under these circumsta...
Assuming player A has k chips, at the conclusion of the n...
u(k)=p・u(k+1) + q・u(k-1)
u(k)は、チップがk個ある状況で最後までに勝てる(取りきれる...
In addition we have the two auxiliary conditions
u(0)=0
u(a+b)=1
This difference equation for u(k) is linear, homogenous, ...
Its characteristic equation is
-pλ^2+λ-q = 0
The corresponding- roots are A=1, A=q. Accordingly, the g...
u(k)=c1 + c2・(q/p)^k
The two auxiliary conditions give the equations
0=c1+c2
1=c1+c2・(q/p)^(a+b) .
These can be solved for c1 and c2 and the result substitu...
u(k)=[1-(p/q)^k]/[1-(q/p)^(a+b)]
これはk個チップを持っているAさんが無限解試行して破産せ...
Finally, at the original position where player A has a ch...
u(a)=[1-(p/q)^a]/[1-(q/p)^(a+b)]
As a specific example, suppose you play a roulette wheel ...
one (number 0) is green. If you bet on either red or blac...
division of that color. Otherwise you lose your bet. If t...
100,000 francs, what is the chance that you can “break th...
spin of the wheel?
In this case
p=18/37 q=1-p a=100 b=1,000
Thus,
u(100)=[1-(19/18)^100]/[1-(19/18)^1100]=3.29x 10^(-24)
*3項漸化式の解 [#n9cac2d1]
勝つ確率p、負ける確率q=1-pとする
-f(x):xから始めてA円を得る確率
- f(0)=0,f(A)=1
- 0<x<A ならf(x)=pf(x+1)+qf(x-1)
-t=pt^2+q の2根1,λ=q/p
-f(x)=(λ^x-1)/(λ^A-1)
*破産確率は資産に比例する [#zd57d740]
A,B の2 人が公正なコインによる賭け(p=q=1/2の場合)をする. ...
て, コイン投げの勝負によって1 点ずつやり取りするものとす...
P(A) = A/(A + B)
P(B) = B/(A + B)
となり, ゲーム開始時の持ち点に比例することがわかる.
これは、前の問題にp=q=1/2を代入しても、同じである。
吸収壁をもつランダム・ウォークは, ギャンブラーの破産問題(...
*ゲームが終了するまでに要するコイン投げの平均回数 [#ca34e...
前記のコイン投げ問題で
[定理]
{Xn} を前記のランダム・ウォークとする. ただし、このランダ...
が壁に吸収されるまでに要する時間の平均値は次のようになる.
p=q=1/2 の場合
破産までの時間の平均値= AB
P<1/2 の場合
破産までの時間の平均値=(A+B)/(q-p){A/(A+B) - (1-(p/q)...
*ヨーロッパ式とアメリカ式 [#q7f6f15f]
ルーレットは、ヨーロッパで完成しアメリカに渡りました。ヨ...
最近はヨーロッパでもアメリカ方式のルーレットが進出してき...
オンラインカジノでルーレットを利用する場合は、このことを...
*結論 [#de794091]
何度も繰り返すといずれ破産するゲームなので、いずれにせよ...
世の中には、ルーレット以上に勝率の低いゲームがたくさんあ...
-手数料の高い投資信託なども、このルーレットのゲームと似て...
*参考 [#c2ce89d7]
-[[ギャンブラー破産問題とランダムウオーク>http://www.math...
-[[長者か 破産か>https://qir.kyushu-u.ac.jp/dspace/bitst...
終了行:
*ルーレットはマルコフ過程 [#c3195038]
破産する確率を求めてみましょう。
吸収壁(破産したらそのまま停止)のある場合のマルコフ過程の...
*賭博者破産の法則 [#scbe2aee]
成功確率が p である試行を n 回繰り返したときに i 回成功す...
*ギャンブラー破産問題とは gambler's ruin problem [#oe44e...
The term gambler's ruin is used for a number of related s...
*例題 [#zb33c33d]
Consider a gambling situation involving two players A and...
a "guest" and player B is the "house." During any one pla...
player A wins a chip (or coin) from player B, and a proba...
The players begin with initial holdings of a and b chips,...
chips. What is the probability that player A wins?
#ref(gamblerRuin.JPG)
ルーレット
ルーレットのウィール(Wheel)の近くには、0および1から36ま...
-1回1枚だけかける場合
勝率 1/37 (37ポケットだから、特定のポケットに落ちる確...
勝ち点 36 (ポケットに落ちた時、貰える枚数は、36枚)
以上から、
期待値は、1/37 * 36 = 36/37 (期待値は、1枚掛けて、36/3...
*解法 [#j7965928]
To solve this classic problem, consider the general situa...
a+b-k chips. Denote the probability under these circumsta...
Assuming player A has k chips, at the conclusion of the n...
u(k)=p・u(k+1) + q・u(k-1)
u(k)は、チップがk個ある状況で最後までに勝てる(取りきれる...
In addition we have the two auxiliary conditions
u(0)=0
u(a+b)=1
This difference equation for u(k) is linear, homogenous, ...
Its characteristic equation is
-pλ^2+λ-q = 0
The corresponding- roots are A=1, A=q. Accordingly, the g...
u(k)=c1 + c2・(q/p)^k
The two auxiliary conditions give the equations
0=c1+c2
1=c1+c2・(q/p)^(a+b) .
These can be solved for c1 and c2 and the result substitu...
u(k)=[1-(p/q)^k]/[1-(q/p)^(a+b)]
これはk個チップを持っているAさんが無限解試行して破産せ...
Finally, at the original position where player A has a ch...
u(a)=[1-(p/q)^a]/[1-(q/p)^(a+b)]
As a specific example, suppose you play a roulette wheel ...
one (number 0) is green. If you bet on either red or blac...
division of that color. Otherwise you lose your bet. If t...
100,000 francs, what is the chance that you can “break th...
spin of the wheel?
In this case
p=18/37 q=1-p a=100 b=1,000
Thus,
u(100)=[1-(19/18)^100]/[1-(19/18)^1100]=3.29x 10^(-24)
*3項漸化式の解 [#n9cac2d1]
勝つ確率p、負ける確率q=1-pとする
-f(x):xから始めてA円を得る確率
- f(0)=0,f(A)=1
- 0<x<A ならf(x)=pf(x+1)+qf(x-1)
-t=pt^2+q の2根1,λ=q/p
-f(x)=(λ^x-1)/(λ^A-1)
*破産確率は資産に比例する [#zd57d740]
A,B の2 人が公正なコインによる賭け(p=q=1/2の場合)をする. ...
て, コイン投げの勝負によって1 点ずつやり取りするものとす...
P(A) = A/(A + B)
P(B) = B/(A + B)
となり, ゲーム開始時の持ち点に比例することがわかる.
これは、前の問題にp=q=1/2を代入しても、同じである。
吸収壁をもつランダム・ウォークは, ギャンブラーの破産問題(...
*ゲームが終了するまでに要するコイン投げの平均回数 [#ca34e...
前記のコイン投げ問題で
[定理]
{Xn} を前記のランダム・ウォークとする. ただし、このランダ...
が壁に吸収されるまでに要する時間の平均値は次のようになる.
p=q=1/2 の場合
破産までの時間の平均値= AB
P<1/2 の場合
破産までの時間の平均値=(A+B)/(q-p){A/(A+B) - (1-(p/q)...
*ヨーロッパ式とアメリカ式 [#q7f6f15f]
ルーレットは、ヨーロッパで完成しアメリカに渡りました。ヨ...
最近はヨーロッパでもアメリカ方式のルーレットが進出してき...
オンラインカジノでルーレットを利用する場合は、このことを...
*結論 [#de794091]
何度も繰り返すといずれ破産するゲームなので、いずれにせよ...
世の中には、ルーレット以上に勝率の低いゲームがたくさんあ...
-手数料の高い投資信託なども、このルーレットのゲームと似て...
*参考 [#c2ce89d7]
-[[ギャンブラー破産問題とランダムウオーク>http://www.math...
-[[長者か 破産か>https://qir.kyushu-u.ac.jp/dspace/bitst...
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