ダービンワトソン比
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*ダービンワトソン比 [#v1f20c59]
最小自乗法の仮定の一つに,「攪乱項u1, u2,..., uT はそれぞ...
-これは、時系列データの推定誤差が、自己相関をもつかどうか...
-誤差系列の符号が,+ + + - - - - + + - - - + + のように,...
で,マイナスが連続で続くというような場合,誤差系列は正の...
--系列相関:正の相関
#ref(DW-positive.JPG)
--系列相関:負の相関
#ref(DW-negative.JPG)
*誤差系列に相関がある場合の問題点 [#vf43ee5f]
誤差項に1 階の自己相関がある場合(ut = ρut−1 +εt)の通常...
-不偏推定量であるが,最良線形不偏推定量(BLUE)ではない(...
-推定値の分散を過小推計する。決定係数R^2を過大評価する。
*定義と判定 [#bb91b7d4]
ダービン・ワトソン比の定義は次の通りである。
#ref(DW-ratio.JPG)
また次式のように近似計算できる。
#ref(DW-ratio2.JPG)
-すなわち,ρハット は utの推定値 とut-1 の回帰係数である...
パラメータ ρ が 0<ρ<1 の範囲にあれば,ρハット もほぼ同じ...
*ダービンワトソン検定 [#m5e89c86]
すなわち,ダービン・ワトソン比による検定とは,回帰式が
yt = α + βxt + ut モデル式
ut = ρ ut-1 + εt 誤差の式
εtは互いに独立。E(εt・εt-i)=0 i=1,2,...
のときに,
H0 : ρ= 0, H1 : ρ> 0または ρ< 0
の検定である。
-判定
--DW の値が2 前後のとき,系列相関なし( ρの推定値= 0 のと...
--DW が2 より十分に小さいとき,正の系列相関と判定される。...
--DW が2 より十分に大きいとき,負の系列相関と判定される。...
--DWはダービン・ワトソン比といって、0から4の値をとります。
--説明変数に従属変数のラグ付き変数が含まれているときはDW ...
-相関がある場合は、次の状況が考えられる。
--モデル式が適切でない。非線形性、説明変数や次数が不適切...
--データが少なすぎる。
--除外変数による疑似自己相関が発生している。
--これらに対応した上で、必要に応じて誤差の系列相関を考慮...
*ダービンのh統計量による検定 [#r547fc03]
説明変数の中にラグ付き被説明変数(被説明変数を Yj とした...
ダービンのh統計量は次式で定義される。
h = (1-0.5DW値){n/(1-nv)}^(1/2)
ただし、VはYj-1 の係数の分散の推定量
--yt = α + βxt + γyt-1 + ut のモデル式の場合、VはOLSでこ...
-検定方法
ダービンのh統計量は近似的に標準正規分布 N(0, 1) に従うの...
h<-1.645 のとき,負の自己相関がある.
-1.645<h<1.645 のとき,自己相関がないという仮説が棄却...
1.645<h のとき,正の自己相関がある.
--n が十分に大きいとき(n ≥ 30),h 統計量は近似的に標準...
*ExcelでのDW比 [#ue52115c]
DW比を計算するためには残差を求めなければならない。
DW比を求めるために便利なExcel関数として,SUMSQ とSUMXMY...
=SUMXMY2(C28:C41,C27:C40)/SUMSQ(C27:C41)
C28:C41<---utの推定値
C27:C40<---ut-1の推定値
SUMSQ(C27:C41)<---utの分散
という数式を入力すればよい
*系列相関がある場合の推定方法 [#ya62b830]
これは、上記のモデルの場合の、観測データ{yt,xt},t=1~nか...
回帰式が、次の場合を考える。
yt = α + βxt + ut モデル式
ut = ρ ut-1 + εt 誤差の式
εtは互いに独立。E(εt・εt-i)=0 i=1,2,...
ui を消去する。
yt-ρyt-1=α(1-ρ)+β(Xt-ρxt-1)+εt
であるので
y#t=yt-ρyt-1
x#t=Xt-ρxt-1
と定義して、書き換えれば
y#t=α# + βx#t +εt
α#=α(1-ρ)
となる。
このことから、次の収束計算で最小二乗法を使ってパラメータ...
-1.まず 適当なρ(例えばρ=0)を与えて、y#tとx#tをデータ...
-2.次に、 y#t=α# + βx#t +εt を使ってεtの二乗和を最小に...
-3.et=ρet+誤差の誤差の二乗和を最小にするρを新たにρハッ...
-上記のρの推定値ρハットを用いて、1.に戻って、ρを置き換...
--このように誤差系列に自己相関がある場合は、通常の最小二...
*一般化最小二乗法 [#w6d4946d]
''上記のように、系列相関があるなどして通常の最小二乗法が...
この方法は、まずOLSを{yt,xt}に適用し、誤差系列を求め、再...
*ut = ρ ut-1 + εtの平均と分散 [#h7491bf5]
上記モデルは、系列相関があり、通常の最小二乗法の最良推定...
初期値uoの平均が0、uoとεtは互いに独立と仮定する。誤差項εt...
u1=ρ u0 + ε1
u2=ρ u1 + ε1=ρ^2uo+ρε1+ε2
u3=ρ u3 + ε3=ρ^3uo+ρ^2ε1+ρε2+ε1
・・・・
ut=ρ^t u0+ρ^(t-1)ε1+ρ^(t-2)ε2+...+εt
となるので、この期待値と分散は
E(ut)=0
V(ut)=σ^2/(1-ρ^2)
COV(usut)=σ^2 ρ^(s-t)/(1-ρ^2)
となる。
--一般には ρ の絶対値は 1 より小さいものと仮定される.過去...
--utの分散は、ρの絶対値が1に近い程、大きくなる。
--共分散から、ρ=0でない限り, ut は系列相関をもつ。その分...
*参考 [#j518b964]
-[[古典的回帰モデルの拡張pdf>http://www.econ.hit-u.ac.jp/...
-[[Exelによる回帰式>http://www.econ.nagoya-cu.ac.jp/~kami...
-[[計量経済学・第3版/ 蓑谷千凰彦, 1997>http://jwiz.net/es...
-[[Generalized Least Squares.pdf>http://jackman.stanford....
終了行:
*ダービンワトソン比 [#v1f20c59]
最小自乗法の仮定の一つに,「攪乱項u1, u2,..., uT はそれぞ...
-これは、時系列データの推定誤差が、自己相関をもつかどうか...
-誤差系列の符号が,+ + + - - - - + + - - - + + のように,...
で,マイナスが連続で続くというような場合,誤差系列は正の...
--系列相関:正の相関
#ref(DW-positive.JPG)
--系列相関:負の相関
#ref(DW-negative.JPG)
*誤差系列に相関がある場合の問題点 [#vf43ee5f]
誤差項に1 階の自己相関がある場合(ut = ρut−1 +εt)の通常...
-不偏推定量であるが,最良線形不偏推定量(BLUE)ではない(...
-推定値の分散を過小推計する。決定係数R^2を過大評価する。
*定義と判定 [#bb91b7d4]
ダービン・ワトソン比の定義は次の通りである。
#ref(DW-ratio.JPG)
また次式のように近似計算できる。
#ref(DW-ratio2.JPG)
-すなわち,ρハット は utの推定値 とut-1 の回帰係数である...
パラメータ ρ が 0<ρ<1 の範囲にあれば,ρハット もほぼ同じ...
*ダービンワトソン検定 [#m5e89c86]
すなわち,ダービン・ワトソン比による検定とは,回帰式が
yt = α + βxt + ut モデル式
ut = ρ ut-1 + εt 誤差の式
εtは互いに独立。E(εt・εt-i)=0 i=1,2,...
のときに,
H0 : ρ= 0, H1 : ρ> 0または ρ< 0
の検定である。
-判定
--DW の値が2 前後のとき,系列相関なし( ρの推定値= 0 のと...
--DW が2 より十分に小さいとき,正の系列相関と判定される。...
--DW が2 より十分に大きいとき,負の系列相関と判定される。...
--DWはダービン・ワトソン比といって、0から4の値をとります。
--説明変数に従属変数のラグ付き変数が含まれているときはDW ...
-相関がある場合は、次の状況が考えられる。
--モデル式が適切でない。非線形性、説明変数や次数が不適切...
--データが少なすぎる。
--除外変数による疑似自己相関が発生している。
--これらに対応した上で、必要に応じて誤差の系列相関を考慮...
*ダービンのh統計量による検定 [#r547fc03]
説明変数の中にラグ付き被説明変数(被説明変数を Yj とした...
ダービンのh統計量は次式で定義される。
h = (1-0.5DW値){n/(1-nv)}^(1/2)
ただし、VはYj-1 の係数の分散の推定量
--yt = α + βxt + γyt-1 + ut のモデル式の場合、VはOLSでこ...
-検定方法
ダービンのh統計量は近似的に標準正規分布 N(0, 1) に従うの...
h<-1.645 のとき,負の自己相関がある.
-1.645<h<1.645 のとき,自己相関がないという仮説が棄却...
1.645<h のとき,正の自己相関がある.
--n が十分に大きいとき(n ≥ 30),h 統計量は近似的に標準...
*ExcelでのDW比 [#ue52115c]
DW比を計算するためには残差を求めなければならない。
DW比を求めるために便利なExcel関数として,SUMSQ とSUMXMY...
=SUMXMY2(C28:C41,C27:C40)/SUMSQ(C27:C41)
C28:C41<---utの推定値
C27:C40<---ut-1の推定値
SUMSQ(C27:C41)<---utの分散
という数式を入力すればよい
*系列相関がある場合の推定方法 [#ya62b830]
これは、上記のモデルの場合の、観測データ{yt,xt},t=1~nか...
回帰式が、次の場合を考える。
yt = α + βxt + ut モデル式
ut = ρ ut-1 + εt 誤差の式
εtは互いに独立。E(εt・εt-i)=0 i=1,2,...
ui を消去する。
yt-ρyt-1=α(1-ρ)+β(Xt-ρxt-1)+εt
であるので
y#t=yt-ρyt-1
x#t=Xt-ρxt-1
と定義して、書き換えれば
y#t=α# + βx#t +εt
α#=α(1-ρ)
となる。
このことから、次の収束計算で最小二乗法を使ってパラメータ...
-1.まず 適当なρ(例えばρ=0)を与えて、y#tとx#tをデータ...
-2.次に、 y#t=α# + βx#t +εt を使ってεtの二乗和を最小に...
-3.et=ρet+誤差の誤差の二乗和を最小にするρを新たにρハッ...
-上記のρの推定値ρハットを用いて、1.に戻って、ρを置き換...
--このように誤差系列に自己相関がある場合は、通常の最小二...
*一般化最小二乗法 [#w6d4946d]
''上記のように、系列相関があるなどして通常の最小二乗法が...
この方法は、まずOLSを{yt,xt}に適用し、誤差系列を求め、再...
*ut = ρ ut-1 + εtの平均と分散 [#h7491bf5]
上記モデルは、系列相関があり、通常の最小二乗法の最良推定...
初期値uoの平均が0、uoとεtは互いに独立と仮定する。誤差項εt...
u1=ρ u0 + ε1
u2=ρ u1 + ε1=ρ^2uo+ρε1+ε2
u3=ρ u3 + ε3=ρ^3uo+ρ^2ε1+ρε2+ε1
・・・・
ut=ρ^t u0+ρ^(t-1)ε1+ρ^(t-2)ε2+...+εt
となるので、この期待値と分散は
E(ut)=0
V(ut)=σ^2/(1-ρ^2)
COV(usut)=σ^2 ρ^(s-t)/(1-ρ^2)
となる。
--一般には ρ の絶対値は 1 より小さいものと仮定される.過去...
--utの分散は、ρの絶対値が1に近い程、大きくなる。
--共分散から、ρ=0でない限り, ut は系列相関をもつ。その分...
*参考 [#j518b964]
-[[古典的回帰モデルの拡張pdf>http://www.econ.hit-u.ac.jp/...
-[[Exelによる回帰式>http://www.econ.nagoya-cu.ac.jp/~kami...
-[[計量経済学・第3版/ 蓑谷千凰彦, 1997>http://jwiz.net/es...
-[[Generalized Least Squares.pdf>http://jackman.stanford....
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