チェビシェフの多項式
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*チェビシェフの多項式 [#a32095a9]
-チェビシェフ多項式はロシアの数学者チェビシェフ(1821~189...
The Chebyshev polynomials, named after Pafnuty Chebyshev,...
*Pafnuty Lvovich Chebyshev(1821 – 1894) [#r5199e8b]
He was a Russian mathematician. His name can be alternati...
One of nine children, Chebyshev was born in the village o...
*基本の多項式 [#dcbad231]
-n 倍角の余弦 cosnθ は、加法定理cos(α+β)=cosαcosβ-si...
n=1 のとき、 cos1θ=cosθ
n=2 のとき、 cos2θ=2cos2θ-1
n=3 のとき、 cos3θ=4cos3θ-3cosθ
n=4 のとき、 cos4θ=8cos4θ-8cos2θ+1
n=5 のとき、 cos5θ=16cos5θ-20cos3θ...
--簡単に導出できる
n=2 cos2θ=cos2θ-sin2θ=cos2θ-(1-...
n=3 cos3θ=cos2θcosθ-sin2θsinθ
=(2cos2θ-1)cosθ-2sin2θ...
=2cos3θ-cosθ-2cosθ+2c...
=4cos3θ-3cosθ
n=4 cos4θ=2cos22θ-1
=2(2cos2θ-1)2-1
=8cos4θ-8cos2θ+1
任意の自然数nに対して,cosnθはcosθのn次多項式で表され...
*練習問題 [#t4fea267]
一般に、cosnθ を、加法定理を用いて展開した式において...
多項式を、チェビシェフの多項式という。通常、Tn(X) ...
-問題1:cos 3θ = T3(cos θ), cos 4θ = T4(cos θ) となる3 次...
求めよ.
-問題2:α =2π/7とする.cos 3α = cos 4α を示し, 整数を係数...
*cos(2π/7)+cos(4π/7)+cos(6π/7)=-1/2の証...
cos(2π/7) 、cos(4π/7) 、cos(6π/7) は、3次...
複素平面上に、方程式 Z^7=1 の7つの解を分布させる。...
このとき、 1+z+z^2+z^3+z^4+z^5+z^6=0 が...
ここで、 z と z6 、 z2 と z5 、 z3 と z4 は互...
z + z6 = 2cos(2π/7)
z2 + z5 = 2cos(4π/7)
z3 + z4 = 2cos(6π/7)
合計してみよう
よって、1+2(cos(2π/7)+cos(4π/7)+cos(6π/7...
より、
cos(2π/7)+cos(4π/7)+cos(6π/7)=-1/2
(証明...
*正7角形の問題 [#ycf9d692]
問題:方程式 x7-1=0 の解を1,α1,α2,α3,α4,α5,α6とおくとき、
(1-α1)(1-α2)(1-α3)(1-α4)(1-α5)(1-α6)の値を求めよ。
-x7-1 = (x-1)(x6+x5+x4+x3+x2+x+1) と因数分解できます。
また、解であるαnは、x7-1 = (x-1)(x-α1)(x-α2)(x-α3)(x-α4)(...
(x-α1)(x-α2)(x-α3)(x-α4)(x-α5)(x-α6) = x6+x5+x4+x3+x2+x+1
となることがわかります。
この等式にx=1を代入すれば、
(1-α1)(1-α2)(1-α3)(1-α4)(1-α5)(1-α6) = 7
となります
*ニュートン法で 3次方程式 P(x) =8x^3+4x^2-4x-...
唯一の実数解の厳密解は、x=cos(2π/7)です。P"(x) = 4...
ではy = P(x) は下に凸です.
一般に(an, P(an)) における接線は
y = 4(6an^2 + 2an − 1)x − 16an^3 − 4an^2 − 1
x 軸との交点のx 座標an+1 はan+1 =16an^3 + 4an^2 + 1
{an} はこの漸化式をみたし,初項をa1 = 1とでも与えて繰り返...
これが、ニュートン法です。
*n次のチェビシェフ多項式 Tn(x) [#zd16957a]
-一般に、cosnθ を、加法定理を用いて展開した式において...
多項式を、チェビシェフの多項式という。通常、Tn(X) ...
Tn(cosθ)=cosnθ
T0(X)=1
T1(X)=X
T2(X)=2X^2-1
T3(X)=4X^3-3X
T4(X)=8X^4-8X^2+1
T5(X)=16X^5-20X^3+5X
#ref(ChebyshevTPlot.gif)
That cos(nx) is an nth-degree polynomial in cos(x) can be...
This identity is extremely useful in conjunction with the...
T0(X)=cos0X=1
and:
T1(cosX)=cos1X=cosx
one can straightforwardly determine that:
cos2θ=cos2θ-sin2θ=cos2θ-(1-cos2θ)...
cos3θ=cos2θcosθ-sin2θsinθ
=(2cos2θ-1)cosθ-2sin2θ...
=2cos3θ-cosθ-2cosθ+2c...
=4cos3θ-3cosθ
and so forth.
-Tn(x)のグラフ
#ref(chebyshev03.png)
Tn(X) は、n 次の多項式で、最高次の項の係数は、2n-...
ド・モアブルの公式により、i を虚数単位として、
cos(nθ)+i・sin(nθ)=(cosθ+i・sinθ)^n
右辺は、2項定理を用いて展開すると、
#ref(tschebyscheff2.gif)
となるので、両辺の実部を比較すれば次式
#ref(tschebyscheff3.gif)
*チェビシェフ多項式の解 [#p3fc4a81]
--1 ≦ X ≦ 1 の範囲で、方程式 Tn(X)=0 は、異...
つ。定義域は、 -1 ≦ X ≦ 1 値域は、 -1 ≦ ...
実際に、方程式 Tn(X)=0 となる X=cosθ は、...
nθ=kπ-(1/2)π ( k は、整数)
なので、
θ=(2k-1)π/2n ( k は、整数)
となる。
cosθ は、偶関数であるので、相異なる cosθ の値を与...
k=1、2、3、・・・、n を代入して、
θ1=π/2n 、θ2=3π/2n 、θ3=5π/2n 、・...
の n 個存在する。これらが、方程式 Tn(X)=0 の実...
*加法定理 [#aee9b5a4]
-オイラーの公式(Euler's formula)eiθ = cosθ + isinθ から...
*チェビシェフの微分方程式と漸化式 [#ze23fddf]
Chebyshev(チェビシェフ)多項式とは、Chebyshevの微分方程式
#ref(Chebyshev01.png)
を満たす直交多項式。ここでnは非負整数であり、α=-1/2。
次の漸化式を満たすことが知られています。
Tn+1(X)= 2X・Tn(X)ーTn-1(X)
*応用例1:チェビシェフの多項式近似 [#rf464b79]
-多項式を近似に用いるには次のような利点がある。
連続関数を近似するために必要な十分の多項式の数がある。
多項式は簡単に値の計算ができる。
微分および積分が存在し,それらが簡単に求められる。
-[[例題>http://next1.msi.sk.shibaura-it.ac.jp/MULTIMEDIA/...
*応用例2:関数のチェビシェフ級数展開による数値積分 [#d06...
-[[積分法の紹介>http://www.seto.nanzan-u.ac.jp/msie/gr-th...
-[[関数のチェビシェフ級数展開とその数値積分法への応用>htt...
*補間,平滑化ルーチン [#k7fa9e36]
NUMPACには,データの与えられ方,及びそのデータに誤差が含...
-[[多項式補間>http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%A4%9A%E9%A...
In the mathematical subfield of numerical analysis, polyn...
--[[Approximation using Chebyshev nodes>http://en.wikiped...
--初等関数の計算法 [[チェビシェフ補間>http://www.cqpub.c...
終了行:
*チェビシェフの多項式 [#a32095a9]
-チェビシェフ多項式はロシアの数学者チェビシェフ(1821~189...
The Chebyshev polynomials, named after Pafnuty Chebyshev,...
*Pafnuty Lvovich Chebyshev(1821 – 1894) [#r5199e8b]
He was a Russian mathematician. His name can be alternati...
One of nine children, Chebyshev was born in the village o...
*基本の多項式 [#dcbad231]
-n 倍角の余弦 cosnθ は、加法定理cos(α+β)=cosαcosβ-si...
n=1 のとき、 cos1θ=cosθ
n=2 のとき、 cos2θ=2cos2θ-1
n=3 のとき、 cos3θ=4cos3θ-3cosθ
n=4 のとき、 cos4θ=8cos4θ-8cos2θ+1
n=5 のとき、 cos5θ=16cos5θ-20cos3θ...
--簡単に導出できる
n=2 cos2θ=cos2θ-sin2θ=cos2θ-(1-...
n=3 cos3θ=cos2θcosθ-sin2θsinθ
=(2cos2θ-1)cosθ-2sin2θ...
=2cos3θ-cosθ-2cosθ+2c...
=4cos3θ-3cosθ
n=4 cos4θ=2cos22θ-1
=2(2cos2θ-1)2-1
=8cos4θ-8cos2θ+1
任意の自然数nに対して,cosnθはcosθのn次多項式で表され...
*練習問題 [#t4fea267]
一般に、cosnθ を、加法定理を用いて展開した式において...
多項式を、チェビシェフの多項式という。通常、Tn(X) ...
-問題1:cos 3θ = T3(cos θ), cos 4θ = T4(cos θ) となる3 次...
求めよ.
-問題2:α =2π/7とする.cos 3α = cos 4α を示し, 整数を係数...
*cos(2π/7)+cos(4π/7)+cos(6π/7)=-1/2の証...
cos(2π/7) 、cos(4π/7) 、cos(6π/7) は、3次...
複素平面上に、方程式 Z^7=1 の7つの解を分布させる。...
このとき、 1+z+z^2+z^3+z^4+z^5+z^6=0 が...
ここで、 z と z6 、 z2 と z5 、 z3 と z4 は互...
z + z6 = 2cos(2π/7)
z2 + z5 = 2cos(4π/7)
z3 + z4 = 2cos(6π/7)
合計してみよう
よって、1+2(cos(2π/7)+cos(4π/7)+cos(6π/7...
より、
cos(2π/7)+cos(4π/7)+cos(6π/7)=-1/2
(証明...
*正7角形の問題 [#ycf9d692]
問題:方程式 x7-1=0 の解を1,α1,α2,α3,α4,α5,α6とおくとき、
(1-α1)(1-α2)(1-α3)(1-α4)(1-α5)(1-α6)の値を求めよ。
-x7-1 = (x-1)(x6+x5+x4+x3+x2+x+1) と因数分解できます。
また、解であるαnは、x7-1 = (x-1)(x-α1)(x-α2)(x-α3)(x-α4)(...
(x-α1)(x-α2)(x-α3)(x-α4)(x-α5)(x-α6) = x6+x5+x4+x3+x2+x+1
となることがわかります。
この等式にx=1を代入すれば、
(1-α1)(1-α2)(1-α3)(1-α4)(1-α5)(1-α6) = 7
となります
*ニュートン法で 3次方程式 P(x) =8x^3+4x^2-4x-...
唯一の実数解の厳密解は、x=cos(2π/7)です。P"(x) = 4...
ではy = P(x) は下に凸です.
一般に(an, P(an)) における接線は
y = 4(6an^2 + 2an − 1)x − 16an^3 − 4an^2 − 1
x 軸との交点のx 座標an+1 はan+1 =16an^3 + 4an^2 + 1
{an} はこの漸化式をみたし,初項をa1 = 1とでも与えて繰り返...
これが、ニュートン法です。
*n次のチェビシェフ多項式 Tn(x) [#zd16957a]
-一般に、cosnθ を、加法定理を用いて展開した式において...
多項式を、チェビシェフの多項式という。通常、Tn(X) ...
Tn(cosθ)=cosnθ
T0(X)=1
T1(X)=X
T2(X)=2X^2-1
T3(X)=4X^3-3X
T4(X)=8X^4-8X^2+1
T5(X)=16X^5-20X^3+5X
#ref(ChebyshevTPlot.gif)
That cos(nx) is an nth-degree polynomial in cos(x) can be...
This identity is extremely useful in conjunction with the...
T0(X)=cos0X=1
and:
T1(cosX)=cos1X=cosx
one can straightforwardly determine that:
cos2θ=cos2θ-sin2θ=cos2θ-(1-cos2θ)...
cos3θ=cos2θcosθ-sin2θsinθ
=(2cos2θ-1)cosθ-2sin2θ...
=2cos3θ-cosθ-2cosθ+2c...
=4cos3θ-3cosθ
and so forth.
-Tn(x)のグラフ
#ref(chebyshev03.png)
Tn(X) は、n 次の多項式で、最高次の項の係数は、2n-...
ド・モアブルの公式により、i を虚数単位として、
cos(nθ)+i・sin(nθ)=(cosθ+i・sinθ)^n
右辺は、2項定理を用いて展開すると、
#ref(tschebyscheff2.gif)
となるので、両辺の実部を比較すれば次式
#ref(tschebyscheff3.gif)
*チェビシェフ多項式の解 [#p3fc4a81]
--1 ≦ X ≦ 1 の範囲で、方程式 Tn(X)=0 は、異...
つ。定義域は、 -1 ≦ X ≦ 1 値域は、 -1 ≦ ...
実際に、方程式 Tn(X)=0 となる X=cosθ は、...
nθ=kπ-(1/2)π ( k は、整数)
なので、
θ=(2k-1)π/2n ( k は、整数)
となる。
cosθ は、偶関数であるので、相異なる cosθ の値を与...
k=1、2、3、・・・、n を代入して、
θ1=π/2n 、θ2=3π/2n 、θ3=5π/2n 、・...
の n 個存在する。これらが、方程式 Tn(X)=0 の実...
*加法定理 [#aee9b5a4]
-オイラーの公式(Euler's formula)eiθ = cosθ + isinθ から...
*チェビシェフの微分方程式と漸化式 [#ze23fddf]
Chebyshev(チェビシェフ)多項式とは、Chebyshevの微分方程式
#ref(Chebyshev01.png)
を満たす直交多項式。ここでnは非負整数であり、α=-1/2。
次の漸化式を満たすことが知られています。
Tn+1(X)= 2X・Tn(X)ーTn-1(X)
*応用例1:チェビシェフの多項式近似 [#rf464b79]
-多項式を近似に用いるには次のような利点がある。
連続関数を近似するために必要な十分の多項式の数がある。
多項式は簡単に値の計算ができる。
微分および積分が存在し,それらが簡単に求められる。
-[[例題>http://next1.msi.sk.shibaura-it.ac.jp/MULTIMEDIA/...
*応用例2:関数のチェビシェフ級数展開による数値積分 [#d06...
-[[積分法の紹介>http://www.seto.nanzan-u.ac.jp/msie/gr-th...
-[[関数のチェビシェフ級数展開とその数値積分法への応用>htt...
*補間,平滑化ルーチン [#k7fa9e36]
NUMPACには,データの与えられ方,及びそのデータに誤差が含...
-[[多項式補間>http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%A4%9A%E9%A...
In the mathematical subfield of numerical analysis, polyn...
--[[Approximation using Chebyshev nodes>http://en.wikiped...
--初等関数の計算法 [[チェビシェフ補間>http://www.cqpub.c...
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