テイラーの定理
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開始行:
*ブルック・テイラー(Brook Taylor, 1685年8月18日 - 1731年...
イギリスの数学者.生まれは現在のエドモントン。ケンブリッジ...
マクローリン Colin Maclaurin (1698年2月~1746年6月14日)は...
*Brook Taylor [#t1353da3]
Brook Taylor is an English mathematician, who is noted fo...
Brook Taylor was born at Edmonton (at that time in Middle...
In his 1715 essay Linear Perspective, Taylor set forth th...
Taylor was elected a fellow of the Royal Society early in...
According to the Oxford Dictionary of National Biography,...
-何故 テーラー展開と呼ばれたか?
今日,名前の残っている テイラー展開 は彼の『増分法』とい...
f(x+h) = f(x) + f'(x)h + f''(x)h^2 /2! + f''...
が出ています. これは既に グレゴリ に知られていました.も...
*テイラーの定理(Taylor's theorem) [#qdc2f3a6]
関数をある一点における高階の微分係数を用いて近似するもの...
関数 f が閉区間 [a, x] で n 回微分可能であるとき、
#ref(Tayler.gif)
が成り立つ。ここで、Rn は剰余項(じょうよこう、residue)
たとえば開区間 (a, x) に存在する c を用いて
のように書ける
テイラーの定理は平均値の定理を一般化したものになっている...
f(x) = f(a) + f'(c)(x − a)
は平均値の定理に他ならない
-[[数学的帰納法で証明>http://cfv21.web.fc2.com/cfv21/math...
*定理の証明 [#h96a8250]
部分積分の公式を使う。
#ref(tailortheorem.JPG)
-もうひとつの証明:平均値の定理を使う
#ref(tailortheorem2.JPG)
*関数f(x)を無限級数で表示 [#zd0e7d90]
n→∞とした場合において、Rn→0となってくれることが証明できた...
#ref(tailer.gif)
という級数展開が正当化され、この右辺を「f(x)のx=aにおける...
*EXP(x)log(x)の展開 [#i69b60b6]
exp( x )=1+ x + x2/2! +…+ xn/n! +… (| x |<∞)
log ( 1+ x )= x - x2/2 + x3/3 -…+(-1)n-1 xn/n+...
*テーラー展開の例 [#m9dc48a1]
#ref(Taylor1.gif)
#ref(Taylor2.gif)
*オイラーの公式 [#q8654f9d]
#ref(Taylor6.gif)
j^2=-1を使って、オイラーの公式が理解できる
#ref(eulerformula.gif)
*簡単な説明 [#caa9eaff]
-sinx=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+…とする(とできるとする)。
x=0を代入すると、a0=0 …(1)
両辺を微分すると、cosx=a1+2a2x+3a3x2+…
x=0を代入すると、cos0=1=a1 …(2)
この(1)(2)を繰り返すと、sinx=x-(1/2・3)x3+(1/2・3・...
-これを一般化したのがマクローリンの展開式 f(x)=f(0...
*log(1+x)のテーラー展開と収束性 [#z3df5a93]
f(x)=log(x+1)についてx~0の周りで展開する。
n次導関数を正負符号に気を付けてテーラーの式に入れていくと
log(x+1)~x - x2/2 + x3/3 - x4/4 + …(但しx~0) eq.1
-ここで xの整式
Σan・xn = a0 + a1x1 + a2x2 + a3x3 + …
について、nが十分に大きくなったとき、それが収束するか判定...
適当な自然数nについて
R=lim[n→∞]an/an+1
とした時、
|x| < R ⇒ 収束する
|x| = R ⇒ 一般には定まらない(x=Rとx=-Rで違ったりもする)
|x| > R ⇒ 発散する
このRを収束半径と呼ぶ。
eq.1の右辺について収束半径Rを求めると an/an+1 = -(n+1)/n
なので R→1(n→∞のとき),すなわち
|x|<1の時しかlog(x+1)のテイラー展開は収束しないことにな...
これを微分するとちゃんと 1/(1 + x) の Taylor 級数になって...
*f(x) = (1 + x)^α. α は任意の実数 [#b1c4fdab]
n回微分は、
f(n)(x) = α(α - 1)(α - 2)…(α - n + 1)(1 + x)^(α - n)=αCn...
であるので、テーラー展開は
f(x)=(1 + x)^α = Σ αCn xn
これを使うと任意の実数乗の数 も求められる。
*演習例題 [#sc17d70c]
#ref(tairorteory3.JPG)
終了行:
*ブルック・テイラー(Brook Taylor, 1685年8月18日 - 1731年...
イギリスの数学者.生まれは現在のエドモントン。ケンブリッジ...
マクローリン Colin Maclaurin (1698年2月~1746年6月14日)は...
*Brook Taylor [#t1353da3]
Brook Taylor is an English mathematician, who is noted fo...
Brook Taylor was born at Edmonton (at that time in Middle...
In his 1715 essay Linear Perspective, Taylor set forth th...
Taylor was elected a fellow of the Royal Society early in...
According to the Oxford Dictionary of National Biography,...
-何故 テーラー展開と呼ばれたか?
今日,名前の残っている テイラー展開 は彼の『増分法』とい...
f(x+h) = f(x) + f'(x)h + f''(x)h^2 /2! + f''...
が出ています. これは既に グレゴリ に知られていました.も...
*テイラーの定理(Taylor's theorem) [#qdc2f3a6]
関数をある一点における高階の微分係数を用いて近似するもの...
関数 f が閉区間 [a, x] で n 回微分可能であるとき、
#ref(Tayler.gif)
が成り立つ。ここで、Rn は剰余項(じょうよこう、residue)
たとえば開区間 (a, x) に存在する c を用いて
のように書ける
テイラーの定理は平均値の定理を一般化したものになっている...
f(x) = f(a) + f'(c)(x − a)
は平均値の定理に他ならない
-[[数学的帰納法で証明>http://cfv21.web.fc2.com/cfv21/math...
*定理の証明 [#h96a8250]
部分積分の公式を使う。
#ref(tailortheorem.JPG)
-もうひとつの証明:平均値の定理を使う
#ref(tailortheorem2.JPG)
*関数f(x)を無限級数で表示 [#zd0e7d90]
n→∞とした場合において、Rn→0となってくれることが証明できた...
#ref(tailer.gif)
という級数展開が正当化され、この右辺を「f(x)のx=aにおける...
*EXP(x)log(x)の展開 [#i69b60b6]
exp( x )=1+ x + x2/2! +…+ xn/n! +… (| x |<∞)
log ( 1+ x )= x - x2/2 + x3/3 -…+(-1)n-1 xn/n+...
*テーラー展開の例 [#m9dc48a1]
#ref(Taylor1.gif)
#ref(Taylor2.gif)
*オイラーの公式 [#q8654f9d]
#ref(Taylor6.gif)
j^2=-1を使って、オイラーの公式が理解できる
#ref(eulerformula.gif)
*簡単な説明 [#caa9eaff]
-sinx=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+…とする(とできるとする)。
x=0を代入すると、a0=0 …(1)
両辺を微分すると、cosx=a1+2a2x+3a3x2+…
x=0を代入すると、cos0=1=a1 …(2)
この(1)(2)を繰り返すと、sinx=x-(1/2・3)x3+(1/2・3・...
-これを一般化したのがマクローリンの展開式 f(x)=f(0...
*log(1+x)のテーラー展開と収束性 [#z3df5a93]
f(x)=log(x+1)についてx~0の周りで展開する。
n次導関数を正負符号に気を付けてテーラーの式に入れていくと
log(x+1)~x - x2/2 + x3/3 - x4/4 + …(但しx~0) eq.1
-ここで xの整式
Σan・xn = a0 + a1x1 + a2x2 + a3x3 + …
について、nが十分に大きくなったとき、それが収束するか判定...
適当な自然数nについて
R=lim[n→∞]an/an+1
とした時、
|x| < R ⇒ 収束する
|x| = R ⇒ 一般には定まらない(x=Rとx=-Rで違ったりもする)
|x| > R ⇒ 発散する
このRを収束半径と呼ぶ。
eq.1の右辺について収束半径Rを求めると an/an+1 = -(n+1)/n
なので R→1(n→∞のとき),すなわち
|x|<1の時しかlog(x+1)のテイラー展開は収束しないことにな...
これを微分するとちゃんと 1/(1 + x) の Taylor 級数になって...
*f(x) = (1 + x)^α. α は任意の実数 [#b1c4fdab]
n回微分は、
f(n)(x) = α(α - 1)(α - 2)…(α - n + 1)(1 + x)^(α - n)=αCn...
であるので、テーラー展開は
f(x)=(1 + x)^α = Σ αCn xn
これを使うと任意の実数乗の数 も求められる。
*演習例題 [#sc17d70c]
#ref(tairorteory3.JPG)
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