デジタル信号処理とカルマンフィルタ
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開始行:
*デジタル信号処理とは [#x9da182a]
源信号s(t)に白色雑音η(t)が加わった観測信号x(t)を得て、で...
x(t)=S(t)+η(t) (1)
これは、''現時刻tまでの観測信号の情報から最適なt時刻の信...
最適性は誤差を二乗和の意味で最小化するものとし、これをLMS...
この推定値S*(t)は、過去の観測値の線形和で表わされる。
S*(t)=aoX(0)+a1x(1)+a2x(2)+....+atx(t) (2)
-ここでは、スカラー信号の場合でまず解説し、その後一般のカ...
*再帰的推定 [#b1e141ff]
再帰式で推定式が記述できると、メモリや計算量も少なく好都...
S*(t)=Bts*(t-1)+Ktx(t) (3)
-これは前時点の推定値による予測値BtS*(t)を現在の観測信号...
-問題は、このBtとKtをどのように決定すれば誤差二乗和を最小...
*誤差共分散について [#o94326e9]
-観測信号に加わる雑音η(t)は、平均0、分散σ^2であり、時間的...
-源信号の推定誤差e(t)と推定誤差共分散
e(t)=S(t)-S*(t) (4-1)
E{e(t)^2}=σ*(t)^2 (4-2)
としよう。
-ここで、相関係数を計算あるいは、定義しよう。
--信号s(t)と過去の観測値x(t-l)との相関
E(s(t)x(t-l))=E(s(t)[S(t-l)+η(t-l)])=E(S(t)s(t-l))=Rs(l)...
--観測値の自己相関
E[x(t)x(t-l)]=Rs(l)+σ^2δ(l) (6)
--観測値と雑音の相互相関
E[x(t)η(t)]=σ^2 (7)
*時変係数BtとKtの決定 [#eabd7bec]
誤差二乗和の期待値を次式で定義する
J=Σ E[e(t)^2]
e(t)=S(t)-S*(t)=S(t)-{aoX(0)+a1x(1)+a2x(2)+....+atx(t)}
誤差二乗和を最小にするためには、Jをパラメータat,t=0~tで偏...
E[e(t)x(t-l)]=0 l=0,1,2,3,...,t (8)
--''これを直交射影の原理と呼ぶ。''現在時点tでの推定誤差...
--一方、推定誤差共分散は、e(t)=S(t)-S*(t)であるので、
σ*(t)^2=E[e(t)^2]=E[e(t)(S(t)-S*(t))]=E[e(t)s(t)] (9)
とも書ける。
直交原理からBtとKtの決定を行いたい。
-l=0の時の直交原理
--x(t)=S(t)+η(t)を直交原理の(8)式に代入して
E[e(t)x(t)]=E[e(t)(S(t)+η(t))]=E[e(t)S(t)]+E[e(t)η(t)]=0
--右辺の第1項は、直交原理からσ*(t)^2に等しい。そこで
σ*(t)^2 + E[e(t)η(t)]=0
--右辺の第2項の中のe(t)は、漸化式を使って次のように書きか...
e(t)=s(t)-S*(t)=s(t)-Bts*(t-1)-Ktx(t)}
--上式を代入し、
σ*(t)^2 + E{[s(t)-Bts*(t-1)-Ktx(t)]η(t)}=0
--信号s(t)と雑音η(t)は無相関なので
σ*(t)^2 + ktE(X(t)η(t))=0
--(7)式を使って
σ*(t)^2 + ktσ^2=0
--''この結果から、Ktは、推定誤差分散と観測雑音分散の比で...
kt= σ*(t)^2 /σ^2
-l>0 の場合の直交原理
E[e(t)x(t-l)]=0 l=1,..,tより
E[e(t)x(t-l)]=E[{s(t)-Bts*(t-1)-Ktx(t)}x(t-l)]
=E[S(t)x(t-l)]-BtE[s*(t-1)x(t-l)]-KtE[x(t)x(t-l)]=0
--上式の第1項
E[S(t)x(t-l)]=E{S(t)[S(t-l)+η(t-l)]}=E(S(t)s(t-l))=Rs(l)
--上式の第2項
S*(t-1)=s(t-1)-e(t-1)であり、これを代入して、e(t-1)がx(n-...
E[s*(t-1)x(t-l)]=E[s(t-1)s(t-l)]=Rs(l-1)
--上式の第3項
lが0でない場合、δ(l),L=1,...,tはすべて0なので
E[x(t)x(t-l)]=E{s(t)s(t-l)}+E{η(t)η(t-l)}=Rs(l)
--以上の整理をすれば
Rs(l)-BtRs(l-1)-ktRs(l)=0 l=1,2,....,t
--''結局、Btは次の漸化式となる。''
Rs(l)-{Bt/(1-Kt)}Rs(l-1)=0 l=1,2,....,t
これらを逐次更新するためには、源信号の自己相関Rs(l)を生成...
終了行:
*デジタル信号処理とは [#x9da182a]
源信号s(t)に白色雑音η(t)が加わった観測信号x(t)を得て、で...
x(t)=S(t)+η(t) (1)
これは、''現時刻tまでの観測信号の情報から最適なt時刻の信...
最適性は誤差を二乗和の意味で最小化するものとし、これをLMS...
この推定値S*(t)は、過去の観測値の線形和で表わされる。
S*(t)=aoX(0)+a1x(1)+a2x(2)+....+atx(t) (2)
-ここでは、スカラー信号の場合でまず解説し、その後一般のカ...
*再帰的推定 [#b1e141ff]
再帰式で推定式が記述できると、メモリや計算量も少なく好都...
S*(t)=Bts*(t-1)+Ktx(t) (3)
-これは前時点の推定値による予測値BtS*(t)を現在の観測信号...
-問題は、このBtとKtをどのように決定すれば誤差二乗和を最小...
*誤差共分散について [#o94326e9]
-観測信号に加わる雑音η(t)は、平均0、分散σ^2であり、時間的...
-源信号の推定誤差e(t)と推定誤差共分散
e(t)=S(t)-S*(t) (4-1)
E{e(t)^2}=σ*(t)^2 (4-2)
としよう。
-ここで、相関係数を計算あるいは、定義しよう。
--信号s(t)と過去の観測値x(t-l)との相関
E(s(t)x(t-l))=E(s(t)[S(t-l)+η(t-l)])=E(S(t)s(t-l))=Rs(l)...
--観測値の自己相関
E[x(t)x(t-l)]=Rs(l)+σ^2δ(l) (6)
--観測値と雑音の相互相関
E[x(t)η(t)]=σ^2 (7)
*時変係数BtとKtの決定 [#eabd7bec]
誤差二乗和の期待値を次式で定義する
J=Σ E[e(t)^2]
e(t)=S(t)-S*(t)=S(t)-{aoX(0)+a1x(1)+a2x(2)+....+atx(t)}
誤差二乗和を最小にするためには、Jをパラメータat,t=0~tで偏...
E[e(t)x(t-l)]=0 l=0,1,2,3,...,t (8)
--''これを直交射影の原理と呼ぶ。''現在時点tでの推定誤差...
--一方、推定誤差共分散は、e(t)=S(t)-S*(t)であるので、
σ*(t)^2=E[e(t)^2]=E[e(t)(S(t)-S*(t))]=E[e(t)s(t)] (9)
とも書ける。
直交原理からBtとKtの決定を行いたい。
-l=0の時の直交原理
--x(t)=S(t)+η(t)を直交原理の(8)式に代入して
E[e(t)x(t)]=E[e(t)(S(t)+η(t))]=E[e(t)S(t)]+E[e(t)η(t)]=0
--右辺の第1項は、直交原理からσ*(t)^2に等しい。そこで
σ*(t)^2 + E[e(t)η(t)]=0
--右辺の第2項の中のe(t)は、漸化式を使って次のように書きか...
e(t)=s(t)-S*(t)=s(t)-Bts*(t-1)-Ktx(t)}
--上式を代入し、
σ*(t)^2 + E{[s(t)-Bts*(t-1)-Ktx(t)]η(t)}=0
--信号s(t)と雑音η(t)は無相関なので
σ*(t)^2 + ktE(X(t)η(t))=0
--(7)式を使って
σ*(t)^2 + ktσ^2=0
--''この結果から、Ktは、推定誤差分散と観測雑音分散の比で...
kt= σ*(t)^2 /σ^2
-l>0 の場合の直交原理
E[e(t)x(t-l)]=0 l=1,..,tより
E[e(t)x(t-l)]=E[{s(t)-Bts*(t-1)-Ktx(t)}x(t-l)]
=E[S(t)x(t-l)]-BtE[s*(t-1)x(t-l)]-KtE[x(t)x(t-l)]=0
--上式の第1項
E[S(t)x(t-l)]=E{S(t)[S(t-l)+η(t-l)]}=E(S(t)s(t-l))=Rs(l)
--上式の第2項
S*(t-1)=s(t-1)-e(t-1)であり、これを代入して、e(t-1)がx(n-...
E[s*(t-1)x(t-l)]=E[s(t-1)s(t-l)]=Rs(l-1)
--上式の第3項
lが0でない場合、δ(l),L=1,...,tはすべて0なので
E[x(t)x(t-l)]=E{s(t)s(t-l)}+E{η(t)η(t-l)}=Rs(l)
--以上の整理をすれば
Rs(l)-BtRs(l-1)-ktRs(l)=0 l=1,2,....,t
--''結局、Btは次の漸化式となる。''
Rs(l)-{Bt/(1-Kt)}Rs(l-1)=0 l=1,2,....,t
これらを逐次更新するためには、源信号の自己相関Rs(l)を生成...
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