ニュートン法
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*アイザックニュートン [#p986fb84]
Sir Isaac Newton was an English physicist, mathematician,...
*ニュートン法とは [#wd847930]
In numerical analysis, Newton's method (also known as the...
*近似の考え方 [#ae495969]
Given a function ƒ(x) and its derivative ƒ '(x), we begin...
#ref(newton1.png)
An important and somewhat surprising application is Newto...
#ref(newton5.JPG)
*ニュートン法の記述 [#v5bdf338]
The idea of the method is as follows: one starts with an ...
Suppose ƒ : [a, b] → R is a differentiable function defin...
#ref(newton2.png)
Here, f ' denotes the derivative of the function f. Then ...
#ref(newton3.png)
We start the process off with some arbitrary initial valu...
*最大値・最小値を求める方法 [#m32b766a]
Newton's method can also be used to find a minimum or max...
#ref(newton4.png)
*歴史的説明 [#u60dc0a8]
Newton's method was described by Isaac Newton in De analy...
Newton's method was used by 17th century Japanese mathema...
Finally, in 1740, Thomas Simpson described Newton's metho...
*実用上の考察 [#ic9d3bb1]
Newton's method is an extremely powerful technique -- in ...
-1. Newton's method requires that the derivative be calc...
-2 If the initial value is too far from the true zero, N...
If the derivative of the function is not continuous the m...
-3. It is clear from the formula for Newton's method tha...
-4. If the root being sought has multiplicity greater th...
*例題 [#u7cf7060]
Consider the problem of finding the square root of a numb...
For example, if one wishes to find the square root of 612...
X^2=612
The function to use in Newton's method is then,
f(x)= X^2-612
with derivative,
ƒ '(x) =2x
With an initial guess of 10, the sequence given by Newton...
#ref(newton6.png)
*ニュートン法で 3次方程式 P(x) =8x^3+4x^2-4x-...
唯一の実数解の厳密解は、x=cos(2π/7)です。P"(x) = 4...
ではy = P(x) は下に凸です.
一般に(an, P(an)) における接線は
y = 4(6an^2 + 2an − 1)x − 16an^3 − 4an^2 − 1
x 軸との交点のx 座標an+1 はan+1 =16an^3 + 4an^2 + 1
{an} はこの漸化式をみたし,初項をa1 = 1とでも与えて繰り返...
これが、ニュートン法です。
*高次元の場合 [#g6b164d4]
ニュートン法は、接線を一次近似式、接線のx切片を一次近似式...
f(x)=0
を求める問題を考えよう。
今 x0 ∈ Rm が既知であるとする。x0における f(x) の一次近似...
#ref(newton7.png)
ヤコビ行列∂f(x0) が正則行列であるとして
#ref(newton8.png)
コンピュータで計算を行う場合 ∂f(x0)-1f(x0) を直接求めるこ...
#ref(newton9.png)
という方程式をガウスの消去法などの解法によって線形方程式...
ここで求めた x はx0よりも f(x) = 0 の解に近いことが見込ま...
* Xがベクトルの場合の極値問題 [#cc98e10c]
R^n→R^1の関数f(X)の極値を求めるには、∇f(X)=0を解けばよい...
ここで∇f(X)はR^n→R^nの関数で、そのi番目の成分は∂f/∂x_iで...
この方程式を解くニュートン法は1次元の場合とほぼ同じであ...
X_{n+1} = X_{n} - D(X_{n})^(-1) ∇f(X_{n})
で与えられます。ここで、D(X)はn*n行列であり、その(i,j)成...
で、この問題は、目的関数が2次なので、D(X)は定数行列とな...
*ジュリア集合 [#jb7d1ce0]
複素平面上の複素変数 z に対して、前節で説明したニュート...
-フラクタルである図形の特徴は自己相似であること、つまりそ...
当時はコンピュータが未発達であったためほとんど話題にのぼ...
ここで[[ジュリア集合の計算>http://web2.incl.ne.jp/yaoki/k...
-フランスの数学者Gaston Maurice Juliaが、1918年に論文「Me...
-Gaston Maurice Julia (1893 - 1978) French mathematician ...
In his 20s, Julia served in the French Army in World War ...
-英文:[[Julia sets>http://www.mcgoodwin.net/julia/juliaj...
#ref(julia.JPG)
参考:[[制約なし最適化問題に対する準ニュートン法>http://z...
参考:[[演習の例>http://olab.is.s.u-tokyo.ac.jp/~reiji/k7...
参考:フラクタルの不思議 [[複素平面をニュートン法で色分...
終了行:
*アイザックニュートン [#p986fb84]
Sir Isaac Newton was an English physicist, mathematician,...
*ニュートン法とは [#wd847930]
In numerical analysis, Newton's method (also known as the...
*近似の考え方 [#ae495969]
Given a function ƒ(x) and its derivative ƒ '(x), we begin...
#ref(newton1.png)
An important and somewhat surprising application is Newto...
#ref(newton5.JPG)
*ニュートン法の記述 [#v5bdf338]
The idea of the method is as follows: one starts with an ...
Suppose ƒ : [a, b] → R is a differentiable function defin...
#ref(newton2.png)
Here, f ' denotes the derivative of the function f. Then ...
#ref(newton3.png)
We start the process off with some arbitrary initial valu...
*最大値・最小値を求める方法 [#m32b766a]
Newton's method can also be used to find a minimum or max...
#ref(newton4.png)
*歴史的説明 [#u60dc0a8]
Newton's method was described by Isaac Newton in De analy...
Newton's method was used by 17th century Japanese mathema...
Finally, in 1740, Thomas Simpson described Newton's metho...
*実用上の考察 [#ic9d3bb1]
Newton's method is an extremely powerful technique -- in ...
-1. Newton's method requires that the derivative be calc...
-2 If the initial value is too far from the true zero, N...
If the derivative of the function is not continuous the m...
-3. It is clear from the formula for Newton's method tha...
-4. If the root being sought has multiplicity greater th...
*例題 [#u7cf7060]
Consider the problem of finding the square root of a numb...
For example, if one wishes to find the square root of 612...
X^2=612
The function to use in Newton's method is then,
f(x)= X^2-612
with derivative,
ƒ '(x) =2x
With an initial guess of 10, the sequence given by Newton...
#ref(newton6.png)
*ニュートン法で 3次方程式 P(x) =8x^3+4x^2-4x-...
唯一の実数解の厳密解は、x=cos(2π/7)です。P"(x) = 4...
ではy = P(x) は下に凸です.
一般に(an, P(an)) における接線は
y = 4(6an^2 + 2an − 1)x − 16an^3 − 4an^2 − 1
x 軸との交点のx 座標an+1 はan+1 =16an^3 + 4an^2 + 1
{an} はこの漸化式をみたし,初項をa1 = 1とでも与えて繰り返...
これが、ニュートン法です。
*高次元の場合 [#g6b164d4]
ニュートン法は、接線を一次近似式、接線のx切片を一次近似式...
f(x)=0
を求める問題を考えよう。
今 x0 ∈ Rm が既知であるとする。x0における f(x) の一次近似...
#ref(newton7.png)
ヤコビ行列∂f(x0) が正則行列であるとして
#ref(newton8.png)
コンピュータで計算を行う場合 ∂f(x0)-1f(x0) を直接求めるこ...
#ref(newton9.png)
という方程式をガウスの消去法などの解法によって線形方程式...
ここで求めた x はx0よりも f(x) = 0 の解に近いことが見込ま...
* Xがベクトルの場合の極値問題 [#cc98e10c]
R^n→R^1の関数f(X)の極値を求めるには、∇f(X)=0を解けばよい...
ここで∇f(X)はR^n→R^nの関数で、そのi番目の成分は∂f/∂x_iで...
この方程式を解くニュートン法は1次元の場合とほぼ同じであ...
X_{n+1} = X_{n} - D(X_{n})^(-1) ∇f(X_{n})
で与えられます。ここで、D(X)はn*n行列であり、その(i,j)成...
で、この問題は、目的関数が2次なので、D(X)は定数行列とな...
*ジュリア集合 [#jb7d1ce0]
複素平面上の複素変数 z に対して、前節で説明したニュート...
-フラクタルである図形の特徴は自己相似であること、つまりそ...
当時はコンピュータが未発達であったためほとんど話題にのぼ...
ここで[[ジュリア集合の計算>http://web2.incl.ne.jp/yaoki/k...
-フランスの数学者Gaston Maurice Juliaが、1918年に論文「Me...
-Gaston Maurice Julia (1893 - 1978) French mathematician ...
In his 20s, Julia served in the French Army in World War ...
-英文:[[Julia sets>http://www.mcgoodwin.net/julia/juliaj...
#ref(julia.JPG)
参考:[[制約なし最適化問題に対する準ニュートン法>http://z...
参考:[[演習の例>http://olab.is.s.u-tokyo.ac.jp/~reiji/k7...
参考:フラクタルの不思議 [[複素平面をニュートン法で色分...
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