ピタゴラスの定理
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*ピタゴラス [#rb7c39cd]
ピタゴラス(BC582?–BC497?) は、有名な言葉「万物は数である...
そして、その集団のシンボルは、ペンタグラム(正5角形と対角...
--正5角形は、定規とコンパスで作図できる。そして、対角線と...
--当時、有理数(整数の比)だけでなく作図できる無理数も長さ...
--参考-->[[こちら>http://www.math.brown.edu/~jhs/frintch2...
*ピタゴラスの定理:Pythagorean theorem [#g52c2710]
直角三角形の3辺の長さの関係を表す等式である。三平方の定理...
直角三角形の斜辺の長さを c とし、その他の辺の長さを a, b ...
a^2+b^2=c^2
なる関係が成立するという幾何学の定理である.
-この式をピタゴラス方程式と呼ぶ。また、これを満たす三つ子...
これをピタゴラス数と呼ぶ。
詳細--->ピタゴラス数
*余弦定理 [#z5e8146f]
余弦定理は、ピタゴラスの定理を一般の三角形に、一般化した...
△ABC において、a = BC, b = CA, c = AB, α = ∠CAB, β = ∠AB...
a2 = b2 + c2 − 2bccosα
b2 = c2 + a2 − 2cacosβ
c2 = a2 + b2 − 2abcosγ
が成り立つ。
--3つの辺の長さがから、角度を求める場合に用いられる。
*相関係数、誤差最小化とピタゴラスの定理:ベクトル表示 [#a...
相関係数とは、2つのデータの関係を表わす指数であり、-1か...
この意味を分かりやすく説明したい。
体重xでウエストyが説明できるか?という問題を考えてみよう。
xを説明変数、yを従属変数と呼ぶ。
関数 Y=aX+b を考える。
n人のデータ(xi,yi),i=1~nが得られたので、x-y平面上にプロ...
ここで、体重ベクトル x=(x1,x2,・・・xn)とウエストベクト...
体重ベクトルをa倍したウェストの推定値ベクトル ax+b は一...
誤差を少なくするようなパラメータa,bを求める問題(パラメー...
以上を整理すれば
パラメータ推定問題とは、次の誤差最小化問題
F(a,b)= Σei^2 --->Minimize by a
yi= axi +b +ei
(xi,yi),i=1~n 所与。
-解法
--a,bで F(a,b)を偏微分したものがゼロとなる時が極値を与え...
Σeixi=0 :eベクトルとxベクトルの内積がゼロ
Σei=0 :誤差の合計がゼロ
これらの式を、正規方程式とよぶ。
--ここで、xの平均μxと分散σx^2を定義する。yも同様に定義す...
平均 μx = Σ(xi)/n
分散 σx^2= Σ(xi-μx)^2/n =Σ(xi)^2/n - (μx)^2
--また、共分散σxyを次式で定義する。
共分散 σxy = Σ(yi-μy)(xi-μx)/n =Σ(yixi)/n -μyμx
--また 相関係数は R=σxy/[σx・σy]で定義される。
--推定された誤差ei=yi- a*xi -b* を代入してa*,b*を求めると
Σeixi=Σ(yi- a*xi -b*)xi および Σei=0
より
Σ(yixi)-a*Σ(xi)^2 -b*Σ(xi)=0
Σ(yi)- a*Σ(xi) -b*n=0
--平均と分散で表わす
Σ(yixi)/n-a*Σ(xi)^2 /n-b*μx=0
μy - a*μx -b =0
--連立して解く。b*を消去して
Σ(yixi)/n-a*Σ(xi)^2/n -(μy - a*μx)μx=0
a*=[Σ(yixi)/n-μyμx]/[Σ(xi)^2/n-(μx)^2]
=σxy/σx^2
--つぎにb*は
b*=μy - μx・σxy/σx^2
*推定の意味:直交射影の原理=ピタゴラスの定理 [#ucd3e6f1]
以上より、要約すると
''推定式は y=σxy/σx^2・(x-μx) + μy となる''。
--''データxとyの平均を通り、傾きはσxy/σx^2=R・σy/σxのよう...
--''正規方程式を解くことは、推定ベクトルy*と誤差ベクトルe...
--3つのベクトル(y、e、y*)の長さにピタゴラスの定理が成り...
y^2 = e^2 + y*^2 :ピタゴラスの定理
--eベクトルとxベクトルの内積がゼロであるので、eとXベクト...
*相関係数の意味=ピタゴラスの定理 [#gad420d8]
すでにしめした定理
y^2 = e^2 + y*^2 :ピタゴラスの定理
の両辺から、μy^2を引くと、y-μyとy*-μyの二乗和で表わせる。
ベクトル表示すれば、
|y-μy|^2=|y-y*|^2 + |y*-μy|^2
推定誤差ベクトルとy*-μyベクトルが直交しており、これらの合...
この意味を考えてみよう。
決定係数R^2は次式で定義されるので、
R^2= Σ(yi*-μy)^2 / Σ(yi-μy)^2
このことから,ベクトル表示式に代入すれば、''決定係数と推定...
R^2 = 1 - (yの推定誤差の二乗和)
これで、''推定誤差の2乗和を最小にするようにすることは、相...
また、R^2は1より小さい正の数であるので、Rは-1から+1の...
*決定係数、相関係数、推定誤差二乗和の関係 [#e465653e]
決定係数Dは、次式で定義される。
D= Σ(yi*-μy)^2 / Σ(yi-μy)^2
また、これを最適推定式 y=σxy/σx^2・(x-μx) + μy で書き...
D= [σxy/σx^2]^2・Σ(xi-μx)^2 / Σ(yi-μy)^2
= σxy^2/[σx^2・σy^2]
=R^2
なぜならば 相関係数 Rが次式で定義されている。
R=σxy/[σx・σy]
そこで
決定係数=(相関係数)^2= 1-(推定誤差の二乗和)/(yの分散)
の関係があることがわかる。
''決定係数とは、相関係数の二乗であり、1から標準化した推...
終了行:
*ピタゴラス [#rb7c39cd]
ピタゴラス(BC582?–BC497?) は、有名な言葉「万物は数である...
そして、その集団のシンボルは、ペンタグラム(正5角形と対角...
--正5角形は、定規とコンパスで作図できる。そして、対角線と...
--当時、有理数(整数の比)だけでなく作図できる無理数も長さ...
--参考-->[[こちら>http://www.math.brown.edu/~jhs/frintch2...
*ピタゴラスの定理:Pythagorean theorem [#g52c2710]
直角三角形の3辺の長さの関係を表す等式である。三平方の定理...
直角三角形の斜辺の長さを c とし、その他の辺の長さを a, b ...
a^2+b^2=c^2
なる関係が成立するという幾何学の定理である.
-この式をピタゴラス方程式と呼ぶ。また、これを満たす三つ子...
これをピタゴラス数と呼ぶ。
詳細--->ピタゴラス数
*余弦定理 [#z5e8146f]
余弦定理は、ピタゴラスの定理を一般の三角形に、一般化した...
△ABC において、a = BC, b = CA, c = AB, α = ∠CAB, β = ∠AB...
a2 = b2 + c2 − 2bccosα
b2 = c2 + a2 − 2cacosβ
c2 = a2 + b2 − 2abcosγ
が成り立つ。
--3つの辺の長さがから、角度を求める場合に用いられる。
*相関係数、誤差最小化とピタゴラスの定理:ベクトル表示 [#a...
相関係数とは、2つのデータの関係を表わす指数であり、-1か...
この意味を分かりやすく説明したい。
体重xでウエストyが説明できるか?という問題を考えてみよう。
xを説明変数、yを従属変数と呼ぶ。
関数 Y=aX+b を考える。
n人のデータ(xi,yi),i=1~nが得られたので、x-y平面上にプロ...
ここで、体重ベクトル x=(x1,x2,・・・xn)とウエストベクト...
体重ベクトルをa倍したウェストの推定値ベクトル ax+b は一...
誤差を少なくするようなパラメータa,bを求める問題(パラメー...
以上を整理すれば
パラメータ推定問題とは、次の誤差最小化問題
F(a,b)= Σei^2 --->Minimize by a
yi= axi +b +ei
(xi,yi),i=1~n 所与。
-解法
--a,bで F(a,b)を偏微分したものがゼロとなる時が極値を与え...
Σeixi=0 :eベクトルとxベクトルの内積がゼロ
Σei=0 :誤差の合計がゼロ
これらの式を、正規方程式とよぶ。
--ここで、xの平均μxと分散σx^2を定義する。yも同様に定義す...
平均 μx = Σ(xi)/n
分散 σx^2= Σ(xi-μx)^2/n =Σ(xi)^2/n - (μx)^2
--また、共分散σxyを次式で定義する。
共分散 σxy = Σ(yi-μy)(xi-μx)/n =Σ(yixi)/n -μyμx
--また 相関係数は R=σxy/[σx・σy]で定義される。
--推定された誤差ei=yi- a*xi -b* を代入してa*,b*を求めると
Σeixi=Σ(yi- a*xi -b*)xi および Σei=0
より
Σ(yixi)-a*Σ(xi)^2 -b*Σ(xi)=0
Σ(yi)- a*Σ(xi) -b*n=0
--平均と分散で表わす
Σ(yixi)/n-a*Σ(xi)^2 /n-b*μx=0
μy - a*μx -b =0
--連立して解く。b*を消去して
Σ(yixi)/n-a*Σ(xi)^2/n -(μy - a*μx)μx=0
a*=[Σ(yixi)/n-μyμx]/[Σ(xi)^2/n-(μx)^2]
=σxy/σx^2
--つぎにb*は
b*=μy - μx・σxy/σx^2
*推定の意味:直交射影の原理=ピタゴラスの定理 [#ucd3e6f1]
以上より、要約すると
''推定式は y=σxy/σx^2・(x-μx) + μy となる''。
--''データxとyの平均を通り、傾きはσxy/σx^2=R・σy/σxのよう...
--''正規方程式を解くことは、推定ベクトルy*と誤差ベクトルe...
--3つのベクトル(y、e、y*)の長さにピタゴラスの定理が成り...
y^2 = e^2 + y*^2 :ピタゴラスの定理
--eベクトルとxベクトルの内積がゼロであるので、eとXベクト...
*相関係数の意味=ピタゴラスの定理 [#gad420d8]
すでにしめした定理
y^2 = e^2 + y*^2 :ピタゴラスの定理
の両辺から、μy^2を引くと、y-μyとy*-μyの二乗和で表わせる。
ベクトル表示すれば、
|y-μy|^2=|y-y*|^2 + |y*-μy|^2
推定誤差ベクトルとy*-μyベクトルが直交しており、これらの合...
この意味を考えてみよう。
決定係数R^2は次式で定義されるので、
R^2= Σ(yi*-μy)^2 / Σ(yi-μy)^2
このことから,ベクトル表示式に代入すれば、''決定係数と推定...
R^2 = 1 - (yの推定誤差の二乗和)
これで、''推定誤差の2乗和を最小にするようにすることは、相...
また、R^2は1より小さい正の数であるので、Rは-1から+1の...
*決定係数、相関係数、推定誤差二乗和の関係 [#e465653e]
決定係数Dは、次式で定義される。
D= Σ(yi*-μy)^2 / Σ(yi-μy)^2
また、これを最適推定式 y=σxy/σx^2・(x-μx) + μy で書き...
D= [σxy/σx^2]^2・Σ(xi-μx)^2 / Σ(yi-μy)^2
= σxy^2/[σx^2・σy^2]
=R^2
なぜならば 相関係数 Rが次式で定義されている。
R=σxy/[σx・σy]
そこで
決定係数=(相関係数)^2= 1-(推定誤差の二乗和)/(yの分散)
の関係があることがわかる。
''決定係数とは、相関係数の二乗であり、1から標準化した推...
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