ポアソンの定理
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開始行:
*ポアソン分布 [#v7db3eff]
#ref(poisson-distribution.gif)
*ポアソンの定理 [#sad7de53]
二項分布がnが十分大きいとき、ポアソン分布近似できる。(...
-pn を n とともに減少する 0<pn<1 なる実数とし、n->∞のと...
#ref(poason.gif)
*何故か? [#v821a048]
証明してみましょう
-nが非常に大きくて、pが小さい時は
np=λ
と置いてみましょう。
(1-p)^n は、指数の定義から、下記のように近似できる。
(1-p)^n=(1-λ/n)^n=EXP(-λ)
二項係数は、
nCk=n(n-1)....(n-k+1)/k!
=1(1-1/n)...(n-(k-1)/n)n^k/K!
=1(1-1/n)...(n-(k-1)/n)(λ/p)^k/K!
である。
二項確率分布は、下記のように表現できる。
P(n,k)=nCk p^k(1-p)^(n-k)
=nCk p^k(1-p)^n(1-p)^(-k)
={1(1-1/n)...(n-(k-1)/n)/K!(a/(1-p))^k (1-p)^n
-nが大きいと
--第1項は1/k!に近づく
--第2項はλ/(1-p)=λ/(1-p)=λ/(1-λ/n)なので、λ^kに近ずく。
--第3項はEXP(-λ)に近づく
以上より
''n-->大きい時、二項確率分布 P(n,k)=nCk p^k(1-p)^(n-k) ...
*例題 [#lb783239]
世界の航空機事故のデータによれば、「年間1千万回(n=10^7)...
-問1.n=10^7、p=10^(-6)として、1年間にk回事故が起こる確...
-問2.1年間に3回事故が起こる確率はいくらでしょうか。
終了行:
*ポアソン分布 [#v7db3eff]
#ref(poisson-distribution.gif)
*ポアソンの定理 [#sad7de53]
二項分布がnが十分大きいとき、ポアソン分布近似できる。(...
-pn を n とともに減少する 0<pn<1 なる実数とし、n->∞のと...
#ref(poason.gif)
*何故か? [#v821a048]
証明してみましょう
-nが非常に大きくて、pが小さい時は
np=λ
と置いてみましょう。
(1-p)^n は、指数の定義から、下記のように近似できる。
(1-p)^n=(1-λ/n)^n=EXP(-λ)
二項係数は、
nCk=n(n-1)....(n-k+1)/k!
=1(1-1/n)...(n-(k-1)/n)n^k/K!
=1(1-1/n)...(n-(k-1)/n)(λ/p)^k/K!
である。
二項確率分布は、下記のように表現できる。
P(n,k)=nCk p^k(1-p)^(n-k)
=nCk p^k(1-p)^n(1-p)^(-k)
={1(1-1/n)...(n-(k-1)/n)/K!(a/(1-p))^k (1-p)^n
-nが大きいと
--第1項は1/k!に近づく
--第2項はλ/(1-p)=λ/(1-p)=λ/(1-λ/n)なので、λ^kに近ずく。
--第3項はEXP(-λ)に近づく
以上より
''n-->大きい時、二項確率分布 P(n,k)=nCk p^k(1-p)^(n-k) ...
*例題 [#lb783239]
世界の航空機事故のデータによれば、「年間1千万回(n=10^7)...
-問1.n=10^7、p=10^(-6)として、1年間にk回事故が起こる確...
-問2.1年間に3回事故が起こる確率はいくらでしょうか。
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