マルコフ過程
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開始行:
*マルコフ過程とは [#c4a2a8a3]
マルコフ性をもつ確率過程のことをいう。すなわち、未来の挙...
*アンドレイ・マルコフ [#i5232824]
Andrey (Andrei) Andreyevich Markov、1856年6月14日 - 1922...
同じアンドレイ・アンドレイヴィッチ・マルコフという名前を...
アンドレイ・アンドレイヴィッチ・マルコフは、リャザンの森...
1866年、サンクトペテルブルク第5グラマースクールに入学
グラマー・スクール在学中の17歳の時に、彼はヴィクトール・...
1874年に学校を卒業すると、彼はサンクトペテルブルク大学で...
修士号を得た後の1880年秋に始まった。彼は私講師として、微...
1886年に彼は特任教授に指名され、さらに科学アカデミー会員...
1894年には母校サンクトペテルブルク大学で、(通常の)教授...
1896年には、チェビシェフの後継としてアカデミーの一般メン...
1908年、学生運動との関連により、サンクトペテルブルク大学...
1913年、サンクトペテルブルク大学の評議会は9人の科学者を名...
*マルコフ性 [#f6d31dcc]
マルコフ性(英: Markov property)とは、確率論における確率...
*マルコフ連鎖 [#b2111509]
マルコフ連鎖とは、確率過程の一種であるマルコフ過程のうち...
*有限状態マルコフ連鎖 [#m8e79512]
状態空間が有限ならば、遷移確率分布は行列で表現され、これ...
#ref(markovchane1.png)
に等しい。さらに、マルコフ連鎖が時間的に均一、つまり遷移...
定常分布π は行ベクトルで、次の式を満たす:
#ref(markovchane2.png)
言い換えると、定常分布π は遷移行列の正規化された左側固有...
もしくはπ を、行列Pに対応する単位単体上の線形(連続)変換...
さらにPkが、各行が定常分布πであるような行列に収束するなら...
#ref(markovchane3.png)
(ここで1はすべての成分が1である列ベクトル)となる(ペロ...
*状態推移図 [#h4694d67]
#ref(StateTransitionDiagram.JPG)
*お天気の確率 [#w39d1ff5]
晴と雨の2通りの状態とします。今日の状態から明日の状態への...
a11=1/2:晴-->晴
a12=2/3:雨-->晴
a21=1/2:晴-->雨
a22=1/3:雨-->雨
この時、初期状態をx0=(0期に晴の確率、0期に雨の確率)とす...
i期後の状態は、次のマルコフ連鎖で表わされる。
Xi+1=Axi
=A^(i)x0
現在の状態は、前期の状態のみによって決まる(マルコフ性)...
-問題1.XiをX0で、要素表示しなさい。
--定常分布をΠベクトルとするとき
Π1=(1/2)Π1+(2/3)Π2
Π2=(1/2)Π1+(1/3)Π2
となる。Π1=(4/3)Π2となり、確率なので合計Π1+Π2=1から、Π1=...
--一方、Aの固有値を計算してみよう。Ax=λx(λ:固有値)より
det|A - λI| = 0
が成立する。これを特性方程式と呼ぶ。
(1/2-λ)(1/3-λ)-(1/2)(2/3)=0
λ^2-(1/2+1/3)λ-1/6=0
(λ-1)(6λ+1)=0
固有値は1と-1/6である。
まず、固有値1に対する固有ベクトルを求める。Ax=xなので[A-...
A-E=|-1/2 2/3|
| 1/2 -2/3|
なので、x'=(4,3)はこれにあてはまる。
つぎに、1/6の固有値の固有ベクトルは,同様に
A-(1/6)E=|1/2+1/6 2/3 |
|1/2 1/3+1/6|
なので X'=(1,-1)はこれに当てはまる。
これらを列ベクトルにもつ、変換行列 Tを定義する。
T = |4 1 |
|3 -1|
これを用いれば、AT=ΛT(Λは固有値を対角要素にもつ行列)なの...
(T−1AT)(T−1AT)....(T−1AT) = T−1A^nT =Λ^n
であるので
A^n=TΛ^nT-1
のように、A^nも計算できる。
このように線形漸化式のn期の一般解xn=A^nx0は、λ1=1のn乗とλ...
xn1=a(1)^n+b(-1/6)^n=a+b(-1/6)^n
xn2=1-xn1
n=0では、初期状態と一致する必要がある。
a+b=θ0
また、n-->無限大 では、定常分布に一致する必要がある。
a=4/7
ゆえに、代入すれば
xn1=4/7+(θ0-4/7)(-1/6)^n
xn2=1-xn1
と要素表示できる。
-問題2.定常分布を求めなさい。
--i-->無限大の時、x=(4/7,3/7)
-問題3.初期状態を観測された、お天気データ{y1,y2,....,yn...
--θ0が与えられたときの、時刻tに晴れる確率をθtと置くと
θt=4/7+(θ0-4/7)(-1/6)^t
である。このことから、t期のytの期待値は
E(yt|θ0)=1θt+0(1-θt)=θt
この期待値と実績値Ytとの誤差は
et=Yt-θt
=Yt-(4/7)[1-(-1/6)^t]-(-1/6)^tθ0
と書くことができる。これは、未知数θ0の1次式になっているので
et=at+btθ0
と書ける。
全期間の誤差2乗和は,
J=Σet^2=Σ(at+btθ0)^2 t=1,n
これを最小にするθ0を求めればよい。一階微分して0が必要条件...
Σ2et(det/dθ0)=0
Σ (at+btθ0)bt=0
Σatbt+(Σbt^2)θ0=0
以上より、最小二乗推定値は
θ0*= Σ(atbt)/Σ bt^2 Σはt=1,nの合計
ただし、
at=Yt-(4/7)[1-(-1/6)^t]
bt=-(-1/6)^t
*固有値を用いた対角化 [#o0324920]
-固有値の定義
n 次の正方行列 A に対して,0 でないベクトル x があって,
Ax = λx
が成り立つとき( x ≠ 0 の解をもつとき),λ を A の固有値...
|A - λI| = 0 (固有方程式,又は,特性方程式という)
の根となる.
-対角化とは
n 次正方行列A が対角化可能であるための必要十分条件は, A ...
推移確率行列
#ref(StateTransitionMatrix.JPG)
に対して, P^n を計算してみよう.
-ここでは, p + q > 0 を仮定する. 固有値を求めると, 1, 1 −...
固有ベクトルを求めて,それを使って対角化行列を計算すると
#ref(Tmatrix.JPG)
となる
#ref(PTmatrix.JPG)
であるので、P^nは次式で表わされる。
#ref(DiagonalTransformation.JPG)
*ルーレット型ゲームのマルコフ連鎖 On a Markov chain roul...
A Markov chain on non-negative integers which arises in a...
*ロシアン ルーレット の数学的理論 [#ba778c6a]
[[On the mathematical theory of splitting and Russian ro...
*ランダム ウオーク 問題の例題 [#e3546105]
[[Exercise of Stochastic Processes>http://personal.math...
A roulette wheel has 18 red pockets, 18 black pockets and...
On each spin, the roulette ball falls randomly into one o...
A player starts with £60 and wins £1 if the roulette ball...
red pocket, and loses £1 otherwise. The player continues ...
all the money or reaching the target of £100. What is the...
that the player reaches the target?
If the player bets £5 each time instead of £1, then what ...
of reaching the target of £100.
In each of the situations described above, what is the ex...
of the game.
If the player bets £5 each time instead of £1, then what ...
of reaching the target of £100.
In each of the situations described above, what is the ex...
of the game.
-We have p = 18/37 (the probability to win in each trial)...
(the probability to lose in each trial) so that q/p = 19/...
starts with £60, so k = 60, the target is £100, so N = 10...
probability that the player reaches the target is
Pr(reaching target) = (1 − (q/p)k)/(1 − (q/p)N)
= (1 − (19/18)60)/(1 − (19/18)100) .=. 0.111.
Betting £5 is like taking k = 60/5 = 12 and N = 100/5 = 2...
Pr(reaching target) = (1 − (q/p)12)/(1 − (q/p)20) .=. 0....
The expected duration is
Dk=[N*( (1-(q/p)^k)/(1-(q/p)^N )-k]/(p-q)
so that for £1 bets we get
p=18/37,q=19/37,k=60,N=100
D60 .=.(100*0.111-60)/(p-q) .=. 1809.3
D12 .=.( 20*0.468-12)/(p-q) .=. 97.7 .
*マルコフ過程 [#da479cee]
A氏とB氏が、ホームページを持っている。当初、A氏の閲覧量は...
ある時、A氏がとても良い記事を書いたので、B氏がリンクを参...
そして、B氏は残り80%のシェアを確保しつつ、A氏のシェアの10...
-この関係は、次式で表される。
ak+1=0.9*ak+0.2*bk
bk+1=0.1*ak+o.8*bk
初期状態 a0=0.1、bo=0.9
この連立漸化式は、ベクトル表示すれば
Xk+1=A*xk
Xk=(ak,bk)
のように、表されます。
-k 年より後の状態はk 年の状態によって、全て決まり,状態間...
-漸化式xk+1 = Axk の解はxn = Anx0 で与えられるから,A を...
-解法:特性方程式 det|A-λI|=0を解く。固有値は、λ = (...
する固有ベクトルを並べた変換行列はPは、1行が(2 ,1)、2行...
D = P^(−1)AP は、対角要素に1, 0.7を持ち、他は0の要素をも...
A^n = [PDP^(−1)]^n = PD^nP^(−1)
これを計算すれば、n期の状態X^nは
#ref(markov.JPG)
で表せます。
-n->無限大での最終状態は、x=Axの解です。これは、n-->∞ ...
''上記は、ホームページの例題ですが、ビールや携帯などでも...
*ガウス=マルコフの定理とは [#xcda77d0]
あるパラメタを観測値の線形結合で推定するとき、残差を最小...
終了行:
*マルコフ過程とは [#c4a2a8a3]
マルコフ性をもつ確率過程のことをいう。すなわち、未来の挙...
*アンドレイ・マルコフ [#i5232824]
Andrey (Andrei) Andreyevich Markov、1856年6月14日 - 1922...
同じアンドレイ・アンドレイヴィッチ・マルコフという名前を...
アンドレイ・アンドレイヴィッチ・マルコフは、リャザンの森...
1866年、サンクトペテルブルク第5グラマースクールに入学
グラマー・スクール在学中の17歳の時に、彼はヴィクトール・...
1874年に学校を卒業すると、彼はサンクトペテルブルク大学で...
修士号を得た後の1880年秋に始まった。彼は私講師として、微...
1886年に彼は特任教授に指名され、さらに科学アカデミー会員...
1894年には母校サンクトペテルブルク大学で、(通常の)教授...
1896年には、チェビシェフの後継としてアカデミーの一般メン...
1908年、学生運動との関連により、サンクトペテルブルク大学...
1913年、サンクトペテルブルク大学の評議会は9人の科学者を名...
*マルコフ性 [#f6d31dcc]
マルコフ性(英: Markov property)とは、確率論における確率...
*マルコフ連鎖 [#b2111509]
マルコフ連鎖とは、確率過程の一種であるマルコフ過程のうち...
*有限状態マルコフ連鎖 [#m8e79512]
状態空間が有限ならば、遷移確率分布は行列で表現され、これ...
#ref(markovchane1.png)
に等しい。さらに、マルコフ連鎖が時間的に均一、つまり遷移...
定常分布π は行ベクトルで、次の式を満たす:
#ref(markovchane2.png)
言い換えると、定常分布π は遷移行列の正規化された左側固有...
もしくはπ を、行列Pに対応する単位単体上の線形(連続)変換...
さらにPkが、各行が定常分布πであるような行列に収束するなら...
#ref(markovchane3.png)
(ここで1はすべての成分が1である列ベクトル)となる(ペロ...
*状態推移図 [#h4694d67]
#ref(StateTransitionDiagram.JPG)
*お天気の確率 [#w39d1ff5]
晴と雨の2通りの状態とします。今日の状態から明日の状態への...
a11=1/2:晴-->晴
a12=2/3:雨-->晴
a21=1/2:晴-->雨
a22=1/3:雨-->雨
この時、初期状態をx0=(0期に晴の確率、0期に雨の確率)とす...
i期後の状態は、次のマルコフ連鎖で表わされる。
Xi+1=Axi
=A^(i)x0
現在の状態は、前期の状態のみによって決まる(マルコフ性)...
-問題1.XiをX0で、要素表示しなさい。
--定常分布をΠベクトルとするとき
Π1=(1/2)Π1+(2/3)Π2
Π2=(1/2)Π1+(1/3)Π2
となる。Π1=(4/3)Π2となり、確率なので合計Π1+Π2=1から、Π1=...
--一方、Aの固有値を計算してみよう。Ax=λx(λ:固有値)より
det|A - λI| = 0
が成立する。これを特性方程式と呼ぶ。
(1/2-λ)(1/3-λ)-(1/2)(2/3)=0
λ^2-(1/2+1/3)λ-1/6=0
(λ-1)(6λ+1)=0
固有値は1と-1/6である。
まず、固有値1に対する固有ベクトルを求める。Ax=xなので[A-...
A-E=|-1/2 2/3|
| 1/2 -2/3|
なので、x'=(4,3)はこれにあてはまる。
つぎに、1/6の固有値の固有ベクトルは,同様に
A-(1/6)E=|1/2+1/6 2/3 |
|1/2 1/3+1/6|
なので X'=(1,-1)はこれに当てはまる。
これらを列ベクトルにもつ、変換行列 Tを定義する。
T = |4 1 |
|3 -1|
これを用いれば、AT=ΛT(Λは固有値を対角要素にもつ行列)なの...
(T−1AT)(T−1AT)....(T−1AT) = T−1A^nT =Λ^n
であるので
A^n=TΛ^nT-1
のように、A^nも計算できる。
このように線形漸化式のn期の一般解xn=A^nx0は、λ1=1のn乗とλ...
xn1=a(1)^n+b(-1/6)^n=a+b(-1/6)^n
xn2=1-xn1
n=0では、初期状態と一致する必要がある。
a+b=θ0
また、n-->無限大 では、定常分布に一致する必要がある。
a=4/7
ゆえに、代入すれば
xn1=4/7+(θ0-4/7)(-1/6)^n
xn2=1-xn1
と要素表示できる。
-問題2.定常分布を求めなさい。
--i-->無限大の時、x=(4/7,3/7)
-問題3.初期状態を観測された、お天気データ{y1,y2,....,yn...
--θ0が与えられたときの、時刻tに晴れる確率をθtと置くと
θt=4/7+(θ0-4/7)(-1/6)^t
である。このことから、t期のytの期待値は
E(yt|θ0)=1θt+0(1-θt)=θt
この期待値と実績値Ytとの誤差は
et=Yt-θt
=Yt-(4/7)[1-(-1/6)^t]-(-1/6)^tθ0
と書くことができる。これは、未知数θ0の1次式になっているので
et=at+btθ0
と書ける。
全期間の誤差2乗和は,
J=Σet^2=Σ(at+btθ0)^2 t=1,n
これを最小にするθ0を求めればよい。一階微分して0が必要条件...
Σ2et(det/dθ0)=0
Σ (at+btθ0)bt=0
Σatbt+(Σbt^2)θ0=0
以上より、最小二乗推定値は
θ0*= Σ(atbt)/Σ bt^2 Σはt=1,nの合計
ただし、
at=Yt-(4/7)[1-(-1/6)^t]
bt=-(-1/6)^t
*固有値を用いた対角化 [#o0324920]
-固有値の定義
n 次の正方行列 A に対して,0 でないベクトル x があって,
Ax = λx
が成り立つとき( x ≠ 0 の解をもつとき),λ を A の固有値...
|A - λI| = 0 (固有方程式,又は,特性方程式という)
の根となる.
-対角化とは
n 次正方行列A が対角化可能であるための必要十分条件は, A ...
推移確率行列
#ref(StateTransitionMatrix.JPG)
に対して, P^n を計算してみよう.
-ここでは, p + q > 0 を仮定する. 固有値を求めると, 1, 1 −...
固有ベクトルを求めて,それを使って対角化行列を計算すると
#ref(Tmatrix.JPG)
となる
#ref(PTmatrix.JPG)
であるので、P^nは次式で表わされる。
#ref(DiagonalTransformation.JPG)
*ルーレット型ゲームのマルコフ連鎖 On a Markov chain roul...
A Markov chain on non-negative integers which arises in a...
*ロシアン ルーレット の数学的理論 [#ba778c6a]
[[On the mathematical theory of splitting and Russian ro...
*ランダム ウオーク 問題の例題 [#e3546105]
[[Exercise of Stochastic Processes>http://personal.math...
A roulette wheel has 18 red pockets, 18 black pockets and...
On each spin, the roulette ball falls randomly into one o...
A player starts with £60 and wins £1 if the roulette ball...
red pocket, and loses £1 otherwise. The player continues ...
all the money or reaching the target of £100. What is the...
that the player reaches the target?
If the player bets £5 each time instead of £1, then what ...
of reaching the target of £100.
In each of the situations described above, what is the ex...
of the game.
If the player bets £5 each time instead of £1, then what ...
of reaching the target of £100.
In each of the situations described above, what is the ex...
of the game.
-We have p = 18/37 (the probability to win in each trial)...
(the probability to lose in each trial) so that q/p = 19/...
starts with £60, so k = 60, the target is £100, so N = 10...
probability that the player reaches the target is
Pr(reaching target) = (1 − (q/p)k)/(1 − (q/p)N)
= (1 − (19/18)60)/(1 − (19/18)100) .=. 0.111.
Betting £5 is like taking k = 60/5 = 12 and N = 100/5 = 2...
Pr(reaching target) = (1 − (q/p)12)/(1 − (q/p)20) .=. 0....
The expected duration is
Dk=[N*( (1-(q/p)^k)/(1-(q/p)^N )-k]/(p-q)
so that for £1 bets we get
p=18/37,q=19/37,k=60,N=100
D60 .=.(100*0.111-60)/(p-q) .=. 1809.3
D12 .=.( 20*0.468-12)/(p-q) .=. 97.7 .
*マルコフ過程 [#da479cee]
A氏とB氏が、ホームページを持っている。当初、A氏の閲覧量は...
ある時、A氏がとても良い記事を書いたので、B氏がリンクを参...
そして、B氏は残り80%のシェアを確保しつつ、A氏のシェアの10...
-この関係は、次式で表される。
ak+1=0.9*ak+0.2*bk
bk+1=0.1*ak+o.8*bk
初期状態 a0=0.1、bo=0.9
この連立漸化式は、ベクトル表示すれば
Xk+1=A*xk
Xk=(ak,bk)
のように、表されます。
-k 年より後の状態はk 年の状態によって、全て決まり,状態間...
-漸化式xk+1 = Axk の解はxn = Anx0 で与えられるから,A を...
-解法:特性方程式 det|A-λI|=0を解く。固有値は、λ = (...
する固有ベクトルを並べた変換行列はPは、1行が(2 ,1)、2行...
D = P^(−1)AP は、対角要素に1, 0.7を持ち、他は0の要素をも...
A^n = [PDP^(−1)]^n = PD^nP^(−1)
これを計算すれば、n期の状態X^nは
#ref(markov.JPG)
で表せます。
-n->無限大での最終状態は、x=Axの解です。これは、n-->∞ ...
''上記は、ホームページの例題ですが、ビールや携帯などでも...
*ガウス=マルコフの定理とは [#xcda77d0]
あるパラメタを観測値の線形結合で推定するとき、残差を最小...
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