二項分布
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開始行:
*二項分布 [#c8bae474]
n回の試行を行う。
i回目に成功すれば1,失敗すれば0の値となる確率変数xiを考え...
成功する確率をPで試行で変わらないとするとき、n回の独立な...
各試行における成功確率 p は一定であり、このような試行を、...
確率変数 X がパラメータ n、p の二項分布に従うとき、X ~ B(...
n回の試行を行った時x回成功する確率は、
P(x)=nCx・p^x・(1-p)^(n-x)
nCx = n!/(x!・(n-x)!) :n個からx個を取り出す場合の数
の二項分布に従う。
*平均と分散 [#x9f8e0c9]
X ~ B(n, p) ならば、
Xの期待値: E[X] = np
Xの分散 :var(X) = np(1 − p)
*例題:感染数 [#b31c1f52]
ある病気の感染者の確率が、pの時、n人の人を抽出した時、病...
*正規分布との関係 [#e5243758]
np および n(1 − p) が5よりも大きい場合、B(n, p)に対する良...
平均μx,分散Vxの正規分布をN[μx,Vx]で表わす。
二項分布は、n--->大の時、N[np,np(1-p)]の正規分布で十分に...
*中心極限定理 [#ec82d370]
xが平均μ,分散V=σ^2の確率分布の時、独立にn回抽出した標本分...
この定理は、独立同分布の平均値の収束定理として重要である。
*大数の法則 [#se1a5551]
ヤコブ・ベルヌーイ(Jacques Bernoulli 1654-1705)は確率論の...
硬貨を投げる際、投げる回数を多くすれば表と裏が出る確率は1...
-弱大数の法則
期待値 μ であるような可積分独立同分布確率変数列 X1, X2, ....
n-->無限大 ならば x=Σxi/n --->μ
-強大数の法則
n → ∞ とするとき、[Xn] は μ にほとんど確実に(almost sure...
--サイコロの平均値:
サイコロを繰り返し投げるとき、n 回目に出た目を Xn とする...
-大数の法則が成立しない場合
母分布の平均が存在することを前提としている。コーシー分布...
*ド· モアブル= ラプラスの定理 [#i1c5209e]
0 < p < 1, u に対してμ = np, σ = √npq (q = 1 − p) とし、x...
P(x)=nCx・p^x・(1-p)^(n-x) --->(1/√2Π)・EXP(-u^2/2)
ド· モアブル= ラプラスの定理はスターリングの公式を使って...
意味は、n が大きいとき、二項分布B(n, p) は正規分布N(μ, σ2...
で近似できることを表わす。
-証明
二項分布・σ の対数をとる。q=1-pとすると
log(σ・二項分布)=logσ+n! − log x! − log(n − x)! + x log...
一方、スターリングの公式は、n-->大の時 n! ≒ (n/e)^n ・√(...
スターリングの公式よりm → ∞ のときは
log(m!) ≒ logm^m√2πm・exp(−m)
≒(1/2)log 2π +(m +1/2)logm − m
であるので
3つの階乗n!、x!、(n − x)! に上式を適用してlog(二項分布)...
log(σ・二項分布)=(1/2)log(npq)-(1/2)log(2Π)-(1/2)logn+(x...
+(n-x+1/2)log(n/(n-x))+ x log p + (n −...
=-(1/2)log(2Π)+(1/2)[logp+log(n/x)]+1/2[logq+log(n/n...
+x(logp+log(n/x)]+(n-x)[logq+log(n/(n-x)]
x = uσ + μ = u√npq + np により,
x/n=p+u√(pq/n)
(n-x)/n=q-u√(pq/n)
となり、n-->大の時
x/n -->p
(n-x)/n--->q
となるので、これを代入して整理すると
log(σ・二項分布)≒-(1/2)log(2Π)-x(log(1/p+log(x/n)]-(n-x)...
=-(1/2)log(2Π)-xlog(1+u√(q/np))-(n-x)log(...
テイラー展開 log(1 + x) = x −x^2/2+o(x^3)を用いて、整理...
log(σ・二項分布)≒-((1/2)log 2π −(1/2)u^2(p + q)+O(1/√n)
以上より
σ・二項分布-->1/√2π・exp(-u^2)
となり、正規分布にN[0,1]に漸近することがわかる。
終了行:
*二項分布 [#c8bae474]
n回の試行を行う。
i回目に成功すれば1,失敗すれば0の値となる確率変数xiを考え...
成功する確率をPで試行で変わらないとするとき、n回の独立な...
各試行における成功確率 p は一定であり、このような試行を、...
確率変数 X がパラメータ n、p の二項分布に従うとき、X ~ B(...
n回の試行を行った時x回成功する確率は、
P(x)=nCx・p^x・(1-p)^(n-x)
nCx = n!/(x!・(n-x)!) :n個からx個を取り出す場合の数
の二項分布に従う。
*平均と分散 [#x9f8e0c9]
X ~ B(n, p) ならば、
Xの期待値: E[X] = np
Xの分散 :var(X) = np(1 − p)
*例題:感染数 [#b31c1f52]
ある病気の感染者の確率が、pの時、n人の人を抽出した時、病...
*正規分布との関係 [#e5243758]
np および n(1 − p) が5よりも大きい場合、B(n, p)に対する良...
平均μx,分散Vxの正規分布をN[μx,Vx]で表わす。
二項分布は、n--->大の時、N[np,np(1-p)]の正規分布で十分に...
*中心極限定理 [#ec82d370]
xが平均μ,分散V=σ^2の確率分布の時、独立にn回抽出した標本分...
この定理は、独立同分布の平均値の収束定理として重要である。
*大数の法則 [#se1a5551]
ヤコブ・ベルヌーイ(Jacques Bernoulli 1654-1705)は確率論の...
硬貨を投げる際、投げる回数を多くすれば表と裏が出る確率は1...
-弱大数の法則
期待値 μ であるような可積分独立同分布確率変数列 X1, X2, ....
n-->無限大 ならば x=Σxi/n --->μ
-強大数の法則
n → ∞ とするとき、[Xn] は μ にほとんど確実に(almost sure...
--サイコロの平均値:
サイコロを繰り返し投げるとき、n 回目に出た目を Xn とする...
-大数の法則が成立しない場合
母分布の平均が存在することを前提としている。コーシー分布...
*ド· モアブル= ラプラスの定理 [#i1c5209e]
0 < p < 1, u に対してμ = np, σ = √npq (q = 1 − p) とし、x...
P(x)=nCx・p^x・(1-p)^(n-x) --->(1/√2Π)・EXP(-u^2/2)
ド· モアブル= ラプラスの定理はスターリングの公式を使って...
意味は、n が大きいとき、二項分布B(n, p) は正規分布N(μ, σ2...
で近似できることを表わす。
-証明
二項分布・σ の対数をとる。q=1-pとすると
log(σ・二項分布)=logσ+n! − log x! − log(n − x)! + x log...
一方、スターリングの公式は、n-->大の時 n! ≒ (n/e)^n ・√(...
スターリングの公式よりm → ∞ のときは
log(m!) ≒ logm^m√2πm・exp(−m)
≒(1/2)log 2π +(m +1/2)logm − m
であるので
3つの階乗n!、x!、(n − x)! に上式を適用してlog(二項分布)...
log(σ・二項分布)=(1/2)log(npq)-(1/2)log(2Π)-(1/2)logn+(x...
+(n-x+1/2)log(n/(n-x))+ x log p + (n −...
=-(1/2)log(2Π)+(1/2)[logp+log(n/x)]+1/2[logq+log(n/n...
+x(logp+log(n/x)]+(n-x)[logq+log(n/(n-x)]
x = uσ + μ = u√npq + np により,
x/n=p+u√(pq/n)
(n-x)/n=q-u√(pq/n)
となり、n-->大の時
x/n -->p
(n-x)/n--->q
となるので、これを代入して整理すると
log(σ・二項分布)≒-(1/2)log(2Π)-x(log(1/p+log(x/n)]-(n-x)...
=-(1/2)log(2Π)-xlog(1+u√(q/np))-(n-x)log(...
テイラー展開 log(1 + x) = x −x^2/2+o(x^3)を用いて、整理...
log(σ・二項分布)≒-((1/2)log 2π −(1/2)u^2(p + q)+O(1/√n)
以上より
σ・二項分布-->1/√2π・exp(-u^2)
となり、正規分布にN[0,1]に漸近することがわかる。
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