共分散行列
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開始行:
*サンプルの平均と分散の定義 [#v31bf4c6]
ある母集団分布をもつ確率変数から抽出された標本の平均と分...
Xのサンプル平均M(x)は
M(x)=(x1+x2+...+xn)/n
Xのサンプル分散V(x)は
Vxx=Σ(xi-μx)^2/n
XとYのサンプル共分散は
VXY=Σ(Xi-μx)(yi-μy)/n
X,Yのサンプルの共分散行列Vは
V=|Vxx Vxy|
|Vyx Vyy|
定義よりVxy=Vyx であるので、これは半正定値対称行列である。
*確率変数の期待値と分散の定義 [#h1175df0]
確率変数がスカラー変数の場合について、説明する。
母集団が離散的な場合
X を離散型確率変数とする。X のとりうる値が x1, x2, ..., x...
μX=E(x)=Σxipi
を確率変数 X の期待値という。Eは期待値演算子である。
母集団が連続型の場合は
μX=E(x)=∫P(x)dx
であり、このP(x)を確率密度関数と呼ぶ。
また離散型の分散σxxは
σxx=E[(x-μx)^2]=Σ[pi(xi-μx)^2]
で定義される。分散の平方根が標準偏差σxと呼ばれる。
σxx=Σ[pi(xi^2-2xiμx+μx^2)]
=Σ[pi・xi^2]-2μx・Σpixi+μx^2・Σpi
より
σxx=E(x^2)-μx^2でもある。
XとYの共分散行列Σは
Σ=|σxx σxy|
|σyx σyy|
である。
*分散共分散行列 [#zdd61fd0]
次のような列ベクトルを考える。
x=(x1,x2,...,xn)'
各要素の期待値と共分散を記す。
μi=E(xi)
σii=E((xi-μi)^2)
σij=E((xi-μi)(xj-μj))
このベクトルの要素xiが各々分散が有限である確率変数である...
Σ=E[(X-μ)(X-μ)']
二つの確率変数ベクトルの間の相互共分散の標準的な記法とし...
Cov(X,Y)=E[(X-E(x))(Y-E(Y))']
を使う。
-性質
--Σ=E[XX']-μμ'
--Σ は、半正定値対称行列。
--任意のmxn行列Aとm次ベクトルaに対して、AX+aの期待値と分...
E(Ax+a)=Aμ+a
Var(Ax+a)=AVar(x)A'
但し Var(X)=Cov(X,X)=E[(X-μ)(X-μ)']=Σ
--XもYもn次の確率変数ベクトルのとき
Cov(X,Y)=Cov(Y,X)'
Var(X+Y)=Var(x)+Cov(x,Y)+Cov(Y,X)+Var(Y)
--もしXとYが独立ならば
Cov(X,Y)=0
-この行列の逆行列は Σ^(-1) は、inverse covariance matrix ...
*多次元正規分布の分散共分散行列の最尤推定量 [#p926603b]
終了行:
*サンプルの平均と分散の定義 [#v31bf4c6]
ある母集団分布をもつ確率変数から抽出された標本の平均と分...
Xのサンプル平均M(x)は
M(x)=(x1+x2+...+xn)/n
Xのサンプル分散V(x)は
Vxx=Σ(xi-μx)^2/n
XとYのサンプル共分散は
VXY=Σ(Xi-μx)(yi-μy)/n
X,Yのサンプルの共分散行列Vは
V=|Vxx Vxy|
|Vyx Vyy|
定義よりVxy=Vyx であるので、これは半正定値対称行列である。
*確率変数の期待値と分散の定義 [#h1175df0]
確率変数がスカラー変数の場合について、説明する。
母集団が離散的な場合
X を離散型確率変数とする。X のとりうる値が x1, x2, ..., x...
μX=E(x)=Σxipi
を確率変数 X の期待値という。Eは期待値演算子である。
母集団が連続型の場合は
μX=E(x)=∫P(x)dx
であり、このP(x)を確率密度関数と呼ぶ。
また離散型の分散σxxは
σxx=E[(x-μx)^2]=Σ[pi(xi-μx)^2]
で定義される。分散の平方根が標準偏差σxと呼ばれる。
σxx=Σ[pi(xi^2-2xiμx+μx^2)]
=Σ[pi・xi^2]-2μx・Σpixi+μx^2・Σpi
より
σxx=E(x^2)-μx^2でもある。
XとYの共分散行列Σは
Σ=|σxx σxy|
|σyx σyy|
である。
*分散共分散行列 [#zdd61fd0]
次のような列ベクトルを考える。
x=(x1,x2,...,xn)'
各要素の期待値と共分散を記す。
μi=E(xi)
σii=E((xi-μi)^2)
σij=E((xi-μi)(xj-μj))
このベクトルの要素xiが各々分散が有限である確率変数である...
Σ=E[(X-μ)(X-μ)']
二つの確率変数ベクトルの間の相互共分散の標準的な記法とし...
Cov(X,Y)=E[(X-E(x))(Y-E(Y))']
を使う。
-性質
--Σ=E[XX']-μμ'
--Σ は、半正定値対称行列。
--任意のmxn行列Aとm次ベクトルaに対して、AX+aの期待値と分...
E(Ax+a)=Aμ+a
Var(Ax+a)=AVar(x)A'
但し Var(X)=Cov(X,X)=E[(X-μ)(X-μ)']=Σ
--XもYもn次の確率変数ベクトルのとき
Cov(X,Y)=Cov(Y,X)'
Var(X+Y)=Var(x)+Cov(x,Y)+Cov(Y,X)+Var(Y)
--もしXとYが独立ならば
Cov(X,Y)=0
-この行列の逆行列は Σ^(-1) は、inverse covariance matrix ...
*多次元正規分布の分散共分散行列の最尤推定量 [#p926603b]
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