円分多項式
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開始行:
*代数方程式 [#w2cd1195]
x に関する方程式で
f(x)= anx^n + an-1x^n-1 + ... + a1^x + a0 = 0 ........(1)
を n 次の代数方程式と呼ぶ。
*解の公式 [#ue602ba6]
n=1, 2, 3, 4 の場合は、ベキ根と四則演算による解の公式があ...
-アーベルの定理
n が5以上の場合、解の公式は存在しない。
一般の代数方程式に関する、ベキ根と四則演算による解の公式...
*代数的数 [#e4555ae3]
代数学における代数的数(だいすうてきすう、英: algebraic n...
''代数多項式(1)が有理数係数である場合 f(a)=0 が成り立つ...
無理数ではたとえば √2 は
f(x) = x^2 − 2
の根であるので代数的数であるし、複素数でも
f(x) = x^2 + 1
の根である i は代数的数である。
-代数的数の、定規とコンパスによる有限回の操作で作ることが...
--数学的には、定規とコンパスによる作図で表せるのは二次方...
*円積問題 [#mc3ee40c]
円積問題(えんせきもんだい)とは古代の幾何学者たちによっ...
-英語でsquare the circleとは 「不可能なことを企てる」とい...
-1882年に、円周率が超越数であることが示されたことにより、...
*超越数 [#eede3c68]
全ての無理数が代数的数であるかというと、そうではないこと...
-有理数は一次方程式の解であるから、超越的な実数はすべて無...
-有理数(ゆうりすう、rational number)とは、二つの整数 a,...
- 初等関数の特殊値が超越数となる例
--代数的数 αに対する、e^α (但しαは零でない場合)
--代数的数 αに対する、sinα, cosα, tanα (但しαは零でない...
--代数的数 α、βに対する、sin(απ + β), cos(απ + β), tan(απ...
--代数的数 α に対する、logα (αは0、1でない場合)
''ネイピア数と円周率がともに超越数であることがよく知られ...
*円分多項式 [#ta2cd629]
円周等分多項式或いは円分多項式と呼ばれる次の方程式、
x^n - 1 = 0
は、任意の n について、ベキ根と四則演算だけで解を求めるこ...
-n=2 の場合
--根の公式
-n=3 の場合
--根の公式
-n=4 の場合
--明らか
-n=5 の場合
--1の5乗根。黄金数が出てくる。
-n=7 の場合
--3次方程式 カルダノの公式
-n=17 の場合
--2次方程式だけで解ける
--[[計算方法>http://www.asahi-net.or.jp/~KC2H-MSM/mathlan...
*x^5=1 [#p9a37e2f]
-''因数分解による方法''
因数分解して
(x-1)(x^4+x^3+x^2+x+1)=0
左辺よりx=1
右のカッコ内をx^2≠0に注意してx^2で割るとx^2+x+1+1/x+1/x^2...
これは相反方程式なので整理すると{(x+1/x)^2}-2+(x+1/x)+1=0
x^2+x=tとして整理するとt^2+t-1=0
因数分解してt=(-1±√5)/2となる。
x+1/x=tに戻して
x^2-((-1±√5)/2)x+1=0
2x^2-(-1±√5)x+2=0
再び解の公式に入れて x=[(-1+√5)±√(-10-2√5)]/4, [(-1-√5)±√...
で, 2√5 < 10 だから, 虚数単位 i を用いると
x=[(-1±√5)±i√(10±2√5)]/4
(√5 の直前の複号だけ同順) となる。
-''ドモアブルの定理を使う方法''
x=cosθ+i・sinθ とおく。
x^5=cos5θ+i・sin5θとなる。
cos5θ=1より、5θ=0+2nπ(nは整数)となる。θ=2nπ/1 n=1,2,3,4....
*ドモアブルの定理とは [#e2f9fabb]
ド・モアブルの定理(-ていり。ド・モアブルの公式(-こうし...
(cosθ + isinθ)^n = cosnθ + i・sinθ
が成り立つという複素数に関する定理である
-アブラーム・ド・モアブル(Abraham de Moivre, 1667 - 1754...
終了行:
*代数方程式 [#w2cd1195]
x に関する方程式で
f(x)= anx^n + an-1x^n-1 + ... + a1^x + a0 = 0 ........(1)
を n 次の代数方程式と呼ぶ。
*解の公式 [#ue602ba6]
n=1, 2, 3, 4 の場合は、ベキ根と四則演算による解の公式があ...
-アーベルの定理
n が5以上の場合、解の公式は存在しない。
一般の代数方程式に関する、ベキ根と四則演算による解の公式...
*代数的数 [#e4555ae3]
代数学における代数的数(だいすうてきすう、英: algebraic n...
''代数多項式(1)が有理数係数である場合 f(a)=0 が成り立つ...
無理数ではたとえば √2 は
f(x) = x^2 − 2
の根であるので代数的数であるし、複素数でも
f(x) = x^2 + 1
の根である i は代数的数である。
-代数的数の、定規とコンパスによる有限回の操作で作ることが...
--数学的には、定規とコンパスによる作図で表せるのは二次方...
*円積問題 [#mc3ee40c]
円積問題(えんせきもんだい)とは古代の幾何学者たちによっ...
-英語でsquare the circleとは 「不可能なことを企てる」とい...
-1882年に、円周率が超越数であることが示されたことにより、...
*超越数 [#eede3c68]
全ての無理数が代数的数であるかというと、そうではないこと...
-有理数は一次方程式の解であるから、超越的な実数はすべて無...
-有理数(ゆうりすう、rational number)とは、二つの整数 a,...
- 初等関数の特殊値が超越数となる例
--代数的数 αに対する、e^α (但しαは零でない場合)
--代数的数 αに対する、sinα, cosα, tanα (但しαは零でない...
--代数的数 α、βに対する、sin(απ + β), cos(απ + β), tan(απ...
--代数的数 α に対する、logα (αは0、1でない場合)
''ネイピア数と円周率がともに超越数であることがよく知られ...
*円分多項式 [#ta2cd629]
円周等分多項式或いは円分多項式と呼ばれる次の方程式、
x^n - 1 = 0
は、任意の n について、ベキ根と四則演算だけで解を求めるこ...
-n=2 の場合
--根の公式
-n=3 の場合
--根の公式
-n=4 の場合
--明らか
-n=5 の場合
--1の5乗根。黄金数が出てくる。
-n=7 の場合
--3次方程式 カルダノの公式
-n=17 の場合
--2次方程式だけで解ける
--[[計算方法>http://www.asahi-net.or.jp/~KC2H-MSM/mathlan...
*x^5=1 [#p9a37e2f]
-''因数分解による方法''
因数分解して
(x-1)(x^4+x^3+x^2+x+1)=0
左辺よりx=1
右のカッコ内をx^2≠0に注意してx^2で割るとx^2+x+1+1/x+1/x^2...
これは相反方程式なので整理すると{(x+1/x)^2}-2+(x+1/x)+1=0
x^2+x=tとして整理するとt^2+t-1=0
因数分解してt=(-1±√5)/2となる。
x+1/x=tに戻して
x^2-((-1±√5)/2)x+1=0
2x^2-(-1±√5)x+2=0
再び解の公式に入れて x=[(-1+√5)±√(-10-2√5)]/4, [(-1-√5)±√...
で, 2√5 < 10 だから, 虚数単位 i を用いると
x=[(-1±√5)±i√(10±2√5)]/4
(√5 の直前の複号だけ同順) となる。
-''ドモアブルの定理を使う方法''
x=cosθ+i・sinθ とおく。
x^5=cos5θ+i・sin5θとなる。
cos5θ=1より、5θ=0+2nπ(nは整数)となる。θ=2nπ/1 n=1,2,3,4....
*ドモアブルの定理とは [#e2f9fabb]
ド・モアブルの定理(-ていり。ド・モアブルの公式(-こうし...
(cosθ + isinθ)^n = cosnθ + i・sinθ
が成り立つという複素数に関する定理である
-アブラーム・ド・モアブル(Abraham de Moivre, 1667 - 1754...
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