大数の法則
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開始行:
*大数の法則 [#t375d986]
大数の法則とは
コイン投げやサイコロで実感できるように、何度も試行すれば...
*大数の法則とは [#f06371ae]
ヤコブ・ベルヌーイ(Jakob Bernoulli、1654- 1705)による弱...
Xiを互いに独立で同じ確率分布に従う確率変数とする。その確...
下記の3つを仮定する
独立性:確率変数X1,X2, · · ·,Xn が互いに独立
平均の同一性:μ = E(Xi) , i = 1, 2, · · · , n
分散の有限性:σi^2 = V (Xi) ≤ σ2 , i = 1, 2, · · · , n
この時、任意の正数εについて
n-->無限大の時 Prob{| x*-μ|>ε }--->0
--大数の法則は期待値(平均)μが存在することを前提としており...
--証明には、チェビシェフの不等式が使われる。
*チェビシェフの不等式 [#o82d75a0]
チェビシェフの不等式は、不等式で表される、確率論の基本的...
--パフヌーティー・リヴォーヴィッチ・チェビシェフ(露:1821...
標本あるいは確率分布は、平均のまわりに、ある標準偏差をも...
-X を、期待値がμ、有限の分散がσ2である確率変数とすると、...
Prob{|x-μ|≥kσ}<=1/k^2
あるいは
Prob{|x-μ|≥k}<=σ^2/k^2
--ただしk > 1 の場合にだけ意味がある。
--例として、 k=√2 を使えば、少なくとも半数の値は区間 (μ −...
-証明
まず、マルコフの不等式を示そう
X を任意の確率変数とし、a > 0 とすると、
Prob{|x|≥a}<E(x)/a
が成立する。
任意の事象 E に対して、すると、事象 X ≥ a が起こるれば1...
I(X ≥ a)=1
I(X<a)=0
この時、
aI(X ≥ a)=a
となるが、一方X ≥ aであるので
aI(X ≥ a)<=|x|
となる。
両辺の期待値をとって
E(aI(X ≥ a))<=E(|x|)
左辺はaProb{|X|≥ a}と同じであるので
aProb{|X|≥ a}<=E(|x|)
a > 0 だから、両辺を a で割ればマルコフの不等式が成立する...
任意の実数ランダム変数 Y と任意の正の実数 a に対して、マ...
-直接の証明
直接証明する方法もある。事象 A に対しIA が A の指示関数に...
#ref(Chebyshev1.png)
#ref(Chebyshev2.png)
である。
*大数の法則の証明 [#oe77f442]
チェビシェフの不等式を期待値及び分散に適用する.
X*=(x1+x2+...+xn)/n
とおくと、独立な試行なので
E(X*)=nμ/n=μ
となる。
また独立性より
V(x*)=(σ1^2+σ2^2+...+σn^2)/n2 < σ^2/n
なるσが存在する(分散の有限性より)
チェビシェフの不等式より
Prob{|x-μ|≥k}<=(σ^2/n)k^2
上式の右辺は、n-->無限大 の時0に近づくので、大数の法則...
終了行:
*大数の法則 [#t375d986]
大数の法則とは
コイン投げやサイコロで実感できるように、何度も試行すれば...
*大数の法則とは [#f06371ae]
ヤコブ・ベルヌーイ(Jakob Bernoulli、1654- 1705)による弱...
Xiを互いに独立で同じ確率分布に従う確率変数とする。その確...
下記の3つを仮定する
独立性:確率変数X1,X2, · · ·,Xn が互いに独立
平均の同一性:μ = E(Xi) , i = 1, 2, · · · , n
分散の有限性:σi^2 = V (Xi) ≤ σ2 , i = 1, 2, · · · , n
この時、任意の正数εについて
n-->無限大の時 Prob{| x*-μ|>ε }--->0
--大数の法則は期待値(平均)μが存在することを前提としており...
--証明には、チェビシェフの不等式が使われる。
*チェビシェフの不等式 [#o82d75a0]
チェビシェフの不等式は、不等式で表される、確率論の基本的...
--パフヌーティー・リヴォーヴィッチ・チェビシェフ(露:1821...
標本あるいは確率分布は、平均のまわりに、ある標準偏差をも...
-X を、期待値がμ、有限の分散がσ2である確率変数とすると、...
Prob{|x-μ|≥kσ}<=1/k^2
あるいは
Prob{|x-μ|≥k}<=σ^2/k^2
--ただしk > 1 の場合にだけ意味がある。
--例として、 k=√2 を使えば、少なくとも半数の値は区間 (μ −...
-証明
まず、マルコフの不等式を示そう
X を任意の確率変数とし、a > 0 とすると、
Prob{|x|≥a}<E(x)/a
が成立する。
任意の事象 E に対して、すると、事象 X ≥ a が起こるれば1...
I(X ≥ a)=1
I(X<a)=0
この時、
aI(X ≥ a)=a
となるが、一方X ≥ aであるので
aI(X ≥ a)<=|x|
となる。
両辺の期待値をとって
E(aI(X ≥ a))<=E(|x|)
左辺はaProb{|X|≥ a}と同じであるので
aProb{|X|≥ a}<=E(|x|)
a > 0 だから、両辺を a で割ればマルコフの不等式が成立する...
任意の実数ランダム変数 Y と任意の正の実数 a に対して、マ...
-直接の証明
直接証明する方法もある。事象 A に対しIA が A の指示関数に...
#ref(Chebyshev1.png)
#ref(Chebyshev2.png)
である。
*大数の法則の証明 [#oe77f442]
チェビシェフの不等式を期待値及び分散に適用する.
X*=(x1+x2+...+xn)/n
とおくと、独立な試行なので
E(X*)=nμ/n=μ
となる。
また独立性より
V(x*)=(σ1^2+σ2^2+...+σn^2)/n2 < σ^2/n
なるσが存在する(分散の有限性より)
チェビシェフの不等式より
Prob{|x-μ|≥k}<=(σ^2/n)k^2
上式の右辺は、n-->無限大 の時0に近づくので、大数の法則...
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