尤度比検定
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開始行:
*仮説検定とは:帰無仮説と対立仮説 [#i6f6fef2]
仮説がデータから支持されるかどうかを判断するための統計的...
一般に,検証したい仮説を帰無仮説といい,帰無仮説が成り立...
-危険率(有意水準)をあらかじめ指定しておき、危険率がこの...
*ネイマンとピアソン [#p39d4f57]
エゴン・シャープ・ピアソン (Egon Sharpe Pearson 1895年8...
1927年ワルシャワに帰り生物測定学研究室を立ち上げたが、193...
*検定の定式化:正規分布の事例 [#o053c092]
データX1, . . . ,Xn が正規分布N(μ, σ2) から独立に得られて...
H0 : μ = μ0 (帰無仮説)
H1 : μ >または< μ0 (対立仮説)
を考え,μ = μ0 かどうかをデータから判定する.
もし帰無仮説H0 が正しいなら,標本平均
μx=(x1+x2+....+xn/n
は母集団平均に近いはずである。したがって| μx − μ0| の値が...
そこで、定数c を決めておいて
| μx − μ0| > c =⇒ 帰無仮説H0を棄却
とする方法で考えよう。
帰無仮説を棄却するようなデータの集合を、棄却域Wという。
W = {Σxn/n | |Σxn/n− μ0| > c}
問題は、「定数c をどのように決めればよいか?」ということ...
P{μx ∈ W : H0は正しい}≤ α
となる。通常はα = 0.1, 0.05 などの値が選ばれる.前を10%の...
本当は帰無仮説が正しいときに誤って帰無仮説を棄却してしま...
本当は帰無仮説が正しいときに誤って帰無仮説を棄却してしま...
P{μx ∈ W : H0は正しい}= P{| μx − μ0| > c : μ = μ0}
で表わされる。ここで右辺は「期待値がμ0 であるような正規分...
*仮説検定の手順 [#jea671d5]
-1.有意水準α を決める
-2.P{H0を棄却: H0が正しい}≤ α を満たすように棄却域W を...
-3.観測したデータが棄却域に入るか確認し、入れば H0 を...
*例題:小学生の平均体重は、30kgか? [#x40551d1]
-データを集めたところ、下図のようであった。
--データ数はn = 63 であり,平均は27.8であった。分散は 26 ...
#ref(Data.JPG)
-帰無仮説を「平均体重は、30kg」としよう。
H0 : c = 30 kg
H1 : c >または< 30 kg
-そして、有意水準をα = 0.1 と決める.
-つぎに、棄却域を構成する。測定結果は正規分布でよく近似で...
る.
-帰無仮説のもとではXはN(30, 26) にしたがうはずなので,63 ...
平均μxの分布:N(30,26/63)
になる。別の言い方をすれば、(X-μx)√σ が正規分布N(0.1)に...
そこで、標準正規分布より
#ref(kikyakuiki.JPG)
となるように、cの棄却域を決める。標準正規分布より C*=1.6...
データの平均体重は27.8kgであったので、-1.64<(μx-30)/√σ<1....
(μx-30)/√σ=(27.8-30)/√(26/83)=3.41>1.64
帰無仮説は有意水準10%で採択されないことになる。平均体...
*中心極限定理 [#h533eb42]
n個の互いに独立なランダム変数が、平均μ分散σ^2を持つ同一の...
μX=(x1+x2+.....+xn)/nの分布は
N(μ,σ/n)
にしたがう。
*仮説検定の誤り確率:第1種過誤確率と第2種過誤確率 [#w768a...
たまたま偏ったデータが観測されたときには,検定による判断...
#ref(KasetsuKentei.JPG)
-第1種過誤確率
--本来は帰無仮説H0 が正しいにもかかわらずH0 を棄却してし...
-第2種過誤確率
--本来は帰無仮説H0 が間違っているにもかかわらずH0 を採択...
検定には以上の2 通りの誤りが存在する.しかしながら、仮説...
-したがっていくつかの検定方式を比較するときには次のように...
''有意水準α の検定方法が複数あるときは、第II 種の誤り確率...
*最適な検定:ネイマン・ピアソンの補題 [#x1a9e868]
有意水準αが所与の時、第II 種の誤り確率を最も小さくするよ...
データX が得られたときに,データの確率密度関数がp(x) かq(...
H0 : X ∼ p(x) (帰無仮説)
H1 : X ∼ q(x) (対立仮説)
有意水準α の棄却域のうち,第II 種の誤り確率を最も小さくす...
W ={x|q(x)/p(x) ≥ c}
で与えられる.ここでc は
第I 種の誤り確率=∫p(x)dx = α:棄却域Wに入る確率がα
を満たす値とする.
-''上で定義した尤度比:λ(x) = q(x)/p(x)を使う検定を「尤度...
「尤度比検定」という.直感的には
p(x) : 仮説H0のもとでのデータx の出現しやすさ
q(x):仮説H1のもとでのデータx の出現しやすさ
を表すので、どちらのほうがもっともらしいかを尤度比によっ...
--尤度比が大きければH1 のほうがもっともらしいということに...
#ref(likelihood-ratio.JPG)
--この補題は、有意水準α のもとで第II 種の誤り確率が最も小...
*例題:正規分布の期待値の尤度比検定 [#x671192a]
データX1, . . . ,Xn が正規分布N(μ, 1) から独立に得られて...
分散の値は既知として期待値に関する次の検定を行う.
H0 : μ = μ0
H1 : μ = μ1
ここでμ0 < μ1 とする
ネイマン・ピアソンの補題から定まる棄却域を構成する
確率密度関数で考えると上の仮説は
H0 : p(x1, . . . , xn) = Π(1/√2π)exp[-(xi-μ0)^2/2] i=1~n
H0 : q(x1, . . . , xn) = Π(1/√2π)exp[-(xi-μ1)^2/2] i=1~n
となる.尤度比を計算すると
λ =p(x1, . . . , xn)/q(x1, . . . , xn)=exp{Σxi(μ1-μ0)+n(...
棄却域は、サンプル平均をμx=Σxi/n として
W = {(x1, . . . , xn) | λ > c}
= {μx | μx(μ1 − μ0) > c'}
= {μx | μx > c''}
ここでc', c'' は適当な定数である.式変形していくとc' やc'...
になるが,そのような繁雑なことは考えずに,帰無仮説H0 のも...
帰無仮説H0 のもとでは μxが N(μ0, 1/n) の確率密度関数とな...
P{μx ∈ W}= P{μx ≥ c''}= P{√n(μx − μ0) > √n(c'' − μ0)}= α
となればよい。,√n(c'' − μ0) = zα と置いて、棄却域を
W =[μx | μx > μ0 + zα √n]
とすればよい。このようにして、有意水準α のもとで第II 種の...
終了行:
*仮説検定とは:帰無仮説と対立仮説 [#i6f6fef2]
仮説がデータから支持されるかどうかを判断するための統計的...
一般に,検証したい仮説を帰無仮説といい,帰無仮説が成り立...
-危険率(有意水準)をあらかじめ指定しておき、危険率がこの...
*ネイマンとピアソン [#p39d4f57]
エゴン・シャープ・ピアソン (Egon Sharpe Pearson 1895年8...
1927年ワルシャワに帰り生物測定学研究室を立ち上げたが、193...
*検定の定式化:正規分布の事例 [#o053c092]
データX1, . . . ,Xn が正規分布N(μ, σ2) から独立に得られて...
H0 : μ = μ0 (帰無仮説)
H1 : μ >または< μ0 (対立仮説)
を考え,μ = μ0 かどうかをデータから判定する.
もし帰無仮説H0 が正しいなら,標本平均
μx=(x1+x2+....+xn/n
は母集団平均に近いはずである。したがって| μx − μ0| の値が...
そこで、定数c を決めておいて
| μx − μ0| > c =⇒ 帰無仮説H0を棄却
とする方法で考えよう。
帰無仮説を棄却するようなデータの集合を、棄却域Wという。
W = {Σxn/n | |Σxn/n− μ0| > c}
問題は、「定数c をどのように決めればよいか?」ということ...
P{μx ∈ W : H0は正しい}≤ α
となる。通常はα = 0.1, 0.05 などの値が選ばれる.前を10%の...
本当は帰無仮説が正しいときに誤って帰無仮説を棄却してしま...
本当は帰無仮説が正しいときに誤って帰無仮説を棄却してしま...
P{μx ∈ W : H0は正しい}= P{| μx − μ0| > c : μ = μ0}
で表わされる。ここで右辺は「期待値がμ0 であるような正規分...
*仮説検定の手順 [#jea671d5]
-1.有意水準α を決める
-2.P{H0を棄却: H0が正しい}≤ α を満たすように棄却域W を...
-3.観測したデータが棄却域に入るか確認し、入れば H0 を...
*例題:小学生の平均体重は、30kgか? [#x40551d1]
-データを集めたところ、下図のようであった。
--データ数はn = 63 であり,平均は27.8であった。分散は 26 ...
#ref(Data.JPG)
-帰無仮説を「平均体重は、30kg」としよう。
H0 : c = 30 kg
H1 : c >または< 30 kg
-そして、有意水準をα = 0.1 と決める.
-つぎに、棄却域を構成する。測定結果は正規分布でよく近似で...
る.
-帰無仮説のもとではXはN(30, 26) にしたがうはずなので,63 ...
平均μxの分布:N(30,26/63)
になる。別の言い方をすれば、(X-μx)√σ が正規分布N(0.1)に...
そこで、標準正規分布より
#ref(kikyakuiki.JPG)
となるように、cの棄却域を決める。標準正規分布より C*=1.6...
データの平均体重は27.8kgであったので、-1.64<(μx-30)/√σ<1....
(μx-30)/√σ=(27.8-30)/√(26/83)=3.41>1.64
帰無仮説は有意水準10%で採択されないことになる。平均体...
*中心極限定理 [#h533eb42]
n個の互いに独立なランダム変数が、平均μ分散σ^2を持つ同一の...
μX=(x1+x2+.....+xn)/nの分布は
N(μ,σ/n)
にしたがう。
*仮説検定の誤り確率:第1種過誤確率と第2種過誤確率 [#w768a...
たまたま偏ったデータが観測されたときには,検定による判断...
#ref(KasetsuKentei.JPG)
-第1種過誤確率
--本来は帰無仮説H0 が正しいにもかかわらずH0 を棄却してし...
-第2種過誤確率
--本来は帰無仮説H0 が間違っているにもかかわらずH0 を採択...
検定には以上の2 通りの誤りが存在する.しかしながら、仮説...
-したがっていくつかの検定方式を比較するときには次のように...
''有意水準α の検定方法が複数あるときは、第II 種の誤り確率...
*最適な検定:ネイマン・ピアソンの補題 [#x1a9e868]
有意水準αが所与の時、第II 種の誤り確率を最も小さくするよ...
データX が得られたときに,データの確率密度関数がp(x) かq(...
H0 : X ∼ p(x) (帰無仮説)
H1 : X ∼ q(x) (対立仮説)
有意水準α の棄却域のうち,第II 種の誤り確率を最も小さくす...
W ={x|q(x)/p(x) ≥ c}
で与えられる.ここでc は
第I 種の誤り確率=∫p(x)dx = α:棄却域Wに入る確率がα
を満たす値とする.
-''上で定義した尤度比:λ(x) = q(x)/p(x)を使う検定を「尤度...
「尤度比検定」という.直感的には
p(x) : 仮説H0のもとでのデータx の出現しやすさ
q(x):仮説H1のもとでのデータx の出現しやすさ
を表すので、どちらのほうがもっともらしいかを尤度比によっ...
--尤度比が大きければH1 のほうがもっともらしいということに...
#ref(likelihood-ratio.JPG)
--この補題は、有意水準α のもとで第II 種の誤り確率が最も小...
*例題:正規分布の期待値の尤度比検定 [#x671192a]
データX1, . . . ,Xn が正規分布N(μ, 1) から独立に得られて...
分散の値は既知として期待値に関する次の検定を行う.
H0 : μ = μ0
H1 : μ = μ1
ここでμ0 < μ1 とする
ネイマン・ピアソンの補題から定まる棄却域を構成する
確率密度関数で考えると上の仮説は
H0 : p(x1, . . . , xn) = Π(1/√2π)exp[-(xi-μ0)^2/2] i=1~n
H0 : q(x1, . . . , xn) = Π(1/√2π)exp[-(xi-μ1)^2/2] i=1~n
となる.尤度比を計算すると
λ =p(x1, . . . , xn)/q(x1, . . . , xn)=exp{Σxi(μ1-μ0)+n(...
棄却域は、サンプル平均をμx=Σxi/n として
W = {(x1, . . . , xn) | λ > c}
= {μx | μx(μ1 − μ0) > c'}
= {μx | μx > c''}
ここでc', c'' は適当な定数である.式変形していくとc' やc'...
になるが,そのような繁雑なことは考えずに,帰無仮説H0 のも...
帰無仮説H0 のもとでは μxが N(μ0, 1/n) の確率密度関数とな...
P{μx ∈ W}= P{μx ≥ c''}= P{√n(μx − μ0) > √n(c'' − μ0)}= α
となればよい。,√n(c'' − μ0) = zα と置いて、棄却域を
W =[μx | μx > μ0 + zα √n]
とすればよい。このようにして、有意水準α のもとで第II 種の...
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