平均
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開始行:
*平均値 [#md3709e5]
平均(へいきん)とは、観測されるデータから、その散らばり...
n 個のデータx1, ...,xnに対し、相加平均(Arithmetic mean)...
E(X)=∑xi/n
*母集団が離散的な場合 [#n0314f86]
X を離散型確率変数とする。X のとりうる値が x1, x2, ..., x...
Σpi=1
とする。この時、
μX=E(x)=Σxipi
を確率変数 X の平均値という。分散は
V=E[(x-μx)^2]=Σ[pi(xi-μx)^2]
で定義される。分散の平方根が標準偏差σとなる。
V=Σ[pi(xi^2-2xiμx+μx^2)]
=Σ[pi・xi^2]-2μx・Σpixi+μx^2・Σpi
より
V=E(x^2)-μx^2
でもある。
*練習問題 [#tcfdd3e3]
コインの表が出れば、掛け金の2倍、裏が出れば0(掛け金が取...
これを分割して、1万円*w1を1回目に賭け、2回目に1万円*(1-W1...
-問1:1回だけの試行した場合の倍率の期待値と分散を求めよ。
--期待値E(xi):i回目の倍率の平均と標準偏差
E(xi)=μi=2*0.5+0*0.5=1(倍)
V(xi)=σi^2=E[(xi-E(xi))^2]=(2-1)^2*0.5+(0-1)^2*0.5=1
i=1,i=2ともに、独立かつ同一の確率密度なので、μ1=μ2=1、σ1...
--答えは、平均1、標準偏差1
-問2:1万円を分割してw:(1-w)で賭けた場合の受取額の期待値...
--受取額は、Xp=w1*x1+(1-w2)*x2であるので、この期待値と...
--期待値は
E(xp)=w1E(x1)+(1-w1)E(x2)
=(1万円*w1*2倍*0.5+w1*0倍*0.5)+(1万円*(1-w1)*2倍*0.5...
=w1+(1-w1)=1万円
--答え:期待値は1万円。一度に賭けても同じ期待値。
--分散は
V(xp)=E([xp-E(xp)]^2)
=E([w1*X1+(1-w2)*X2-E(xp)]^2)
=w1^2σ1^2+2*w1*(1-w1)σ12+(1-w1)^2σ2
独立な試行なのでσ12=E[(x1-μ1)(x2-μ2)]=0なので、またσ1=σ...
=w1^2+(1-w1)^2
--答え:分散はw1^2+(1-w1)^2
--1万円を1/2づつ(w1=1/2)の時に分散が最小値。Vp=1/4、標準...
-半分づつ、分散して賭けた方が、リスクは最小である。10回に...
--加法和の分布の平均値のついて、中心極限定理による。試行...
*相加平均、相乗平均、調和平均の関係 [#ydb88934]
相加・相乗・調和平均の不等式:相加平均 ≥ 相乗平均 ≥ 調和...
#ref(http://upload.wikimedia.org/math/9/b/5/9b508d51c6c7c...
等号はすべてのxiが等しい時に成立。
*荷重平均 [#x8f8c6df]
加重平均
観測される値それぞれに重みがある時には、単に相加平均をと...
#ref(http://upload.wikimedia.org/math/6/4/f/64f4bf91ca4c7...
と定義される。全ての重みが等しければ、これは通常の相加平...
終了行:
*平均値 [#md3709e5]
平均(へいきん)とは、観測されるデータから、その散らばり...
n 個のデータx1, ...,xnに対し、相加平均(Arithmetic mean)...
E(X)=∑xi/n
*母集団が離散的な場合 [#n0314f86]
X を離散型確率変数とする。X のとりうる値が x1, x2, ..., x...
Σpi=1
とする。この時、
μX=E(x)=Σxipi
を確率変数 X の平均値という。分散は
V=E[(x-μx)^2]=Σ[pi(xi-μx)^2]
で定義される。分散の平方根が標準偏差σとなる。
V=Σ[pi(xi^2-2xiμx+μx^2)]
=Σ[pi・xi^2]-2μx・Σpixi+μx^2・Σpi
より
V=E(x^2)-μx^2
でもある。
*練習問題 [#tcfdd3e3]
コインの表が出れば、掛け金の2倍、裏が出れば0(掛け金が取...
これを分割して、1万円*w1を1回目に賭け、2回目に1万円*(1-W1...
-問1:1回だけの試行した場合の倍率の期待値と分散を求めよ。
--期待値E(xi):i回目の倍率の平均と標準偏差
E(xi)=μi=2*0.5+0*0.5=1(倍)
V(xi)=σi^2=E[(xi-E(xi))^2]=(2-1)^2*0.5+(0-1)^2*0.5=1
i=1,i=2ともに、独立かつ同一の確率密度なので、μ1=μ2=1、σ1...
--答えは、平均1、標準偏差1
-問2:1万円を分割してw:(1-w)で賭けた場合の受取額の期待値...
--受取額は、Xp=w1*x1+(1-w2)*x2であるので、この期待値と...
--期待値は
E(xp)=w1E(x1)+(1-w1)E(x2)
=(1万円*w1*2倍*0.5+w1*0倍*0.5)+(1万円*(1-w1)*2倍*0.5...
=w1+(1-w1)=1万円
--答え:期待値は1万円。一度に賭けても同じ期待値。
--分散は
V(xp)=E([xp-E(xp)]^2)
=E([w1*X1+(1-w2)*X2-E(xp)]^2)
=w1^2σ1^2+2*w1*(1-w1)σ12+(1-w1)^2σ2
独立な試行なのでσ12=E[(x1-μ1)(x2-μ2)]=0なので、またσ1=σ...
=w1^2+(1-w1)^2
--答え:分散はw1^2+(1-w1)^2
--1万円を1/2づつ(w1=1/2)の時に分散が最小値。Vp=1/4、標準...
-半分づつ、分散して賭けた方が、リスクは最小である。10回に...
--加法和の分布の平均値のついて、中心極限定理による。試行...
*相加平均、相乗平均、調和平均の関係 [#ydb88934]
相加・相乗・調和平均の不等式:相加平均 ≥ 相乗平均 ≥ 調和...
#ref(http://upload.wikimedia.org/math/9/b/5/9b508d51c6c7c...
等号はすべてのxiが等しい時に成立。
*荷重平均 [#x8f8c6df]
加重平均
観測される値それぞれに重みがある時には、単に相加平均をと...
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と定義される。全ての重みが等しければ、これは通常の相加平...
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