指数関数
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開始行:
*指数関数 [#lc438a6a]
指数関数(exponential function)とは、冪乗における指数を...
*ネイピア数 e とは [#jc362240]
The exponential function arises whenever a quantity grows...
e=Lim(n-->∞)(1+1/n)^n :定義式
now known as e. Later, in 1697, Johann Bernoulli studied ...
e^x=Lim(n-->∞)(1+x/n)^n
*f(x)=(1+x)^nの2項展開 [#i0d40c73]
原点x=0の周りで、m回微分する。
f(0)=1
f'(0)=n
f''(0)=n・(n-1)
f'''(0)=n・(n-1)・(n-2)
f(m)(0)=n・(n-1)・(n-2)・・・(n-m+1)=n!/(n-m)!
n次元の多項式であるので、次式で表わされると仮定する。
f(x)=a0+a1・x+a2・x^2+a3・x^3+ ・・・・an・x^n
上式をm回微分した係数と元の式をm回微分した係数が一致する...
f(0)=a0
f'(0)=1・a1
f''(0)=2・1・a2
f'''(0)=3・2・1・a3
f(m)(0)=m(m-1)(m-2)・・3・2・1・am = m!・am
係数は、
am = n!/{(n-m)!m!}=nCm :n個からm個選ぶ場合の数
ゆえに、次の2項定理が成立する。
f(x)=(1+x)^n= ∑ nCm・x (m=0~nの総和)
=1+ nx+ (n(n-1)/2・1)x^2 +・・・+n!/{(n-m)!...
*パスカルの三角形:n!/{(n-m)!m!}=nCm [#e4cad4ca]
2項係数で現れるnCk をn 段目の k 番目に 配置(もちろん n ...
#ref(http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/...
*ネイピア数の級数表示 [#vedf2714]
ネイピア数は、定義より、上式のxに1/nを代入して、n-->無限...
そこで、m番目の項だけ、考える。
n!/{(n-m)!m!}・(1/n)^m = [n・(n-1)・(n-2)・・・(n-m+1...
=1・(1-1/n)・(1-2/n)・・・(1-m/n...
これは、n-->無限大の時、m!に収束するので
ネイピア数 e = 1+1+1/2!+1/3!+1/4!+・・・・
ネイピア数は無限級数で表わされる。
*指数関数の無限級数展開:マクローリン展開 [#ja8b5345]
指数関数の場合も、上と同様に、f(x)=(1+x)^nのxにx/nを代入...
指数関数 e^x = 1+x+x^2/2!+x^3/3!+x^4/4!+・・・・
これは、指数関数のマクローリン展開と同じ結果を与える。
微分を使わなくても、この展開式がえられる。
*指数関数の微分 [#m8120ee7]
指数関数 e^x の微分は指数関数e^xとなることの証明。
d(e^x)/dx=Lim(h-->0){e^(x+h)-e^x}/h
指数法則 a^(b+c)=a^b・a^c より
e^(x+h)-e^x}/h=e^(x+h)-e^x=e^x{e^h-1}/h
そこで、p=e^h-1とおくと
{e^h-1}/h=p/Log(p+1)=1/{1/p・Log(p+1)}=1/Log(p+1)^(1/p)
h-->0の時 1/p-->無限大であり、(p+1)^(1/p)は 自然対数 e...
そこで
h-->0の時 {e^h-1}/h--->1/log(e)=1 となるので、
d(e^x)/dx=Lim(h-->0)e^x{e^h-1}/h=e^x
(証明 終り)
*指数関数の複素変数への拡張 [#a4cacf13]
exp x の微分性質より、これをマクローリン展開すると、
#ref(http://upload.wikimedia.org/math/b/5/8/b588258fb20df...
となることから、定義域を、任意の実数から、複素数全体へと...
上式のxにixを代入することで,exp x のマクローリン展開より
exp(ix)を、cis x と書き、複素指数関数と呼ぶ。
#ref(http://upload.wikimedia.org/math/7/d/b/7db7184078753...
右辺の第 1 項は cos x のマクローリン展開、第 2 項は sin x...
*オイラーの公式:exp ix = cos x + isin x [#zf758e78]
この公式は、全く起源の異なる指数関数と三角関数が複素数の...
#ref(http://upload.wikimedia.org/math/9/4/f/94fa1f0222f39...
#ref(http://upload.wikimedia.org/math/4/0/b/40b8ead57403b...
と置き換えることで、初等関数は全て指数関数の一部であると...
終了行:
*指数関数 [#lc438a6a]
指数関数(exponential function)とは、冪乗における指数を...
*ネイピア数 e とは [#jc362240]
The exponential function arises whenever a quantity grows...
e=Lim(n-->∞)(1+1/n)^n :定義式
now known as e. Later, in 1697, Johann Bernoulli studied ...
e^x=Lim(n-->∞)(1+x/n)^n
*f(x)=(1+x)^nの2項展開 [#i0d40c73]
原点x=0の周りで、m回微分する。
f(0)=1
f'(0)=n
f''(0)=n・(n-1)
f'''(0)=n・(n-1)・(n-2)
f(m)(0)=n・(n-1)・(n-2)・・・(n-m+1)=n!/(n-m)!
n次元の多項式であるので、次式で表わされると仮定する。
f(x)=a0+a1・x+a2・x^2+a3・x^3+ ・・・・an・x^n
上式をm回微分した係数と元の式をm回微分した係数が一致する...
f(0)=a0
f'(0)=1・a1
f''(0)=2・1・a2
f'''(0)=3・2・1・a3
f(m)(0)=m(m-1)(m-2)・・3・2・1・am = m!・am
係数は、
am = n!/{(n-m)!m!}=nCm :n個からm個選ぶ場合の数
ゆえに、次の2項定理が成立する。
f(x)=(1+x)^n= ∑ nCm・x (m=0~nの総和)
=1+ nx+ (n(n-1)/2・1)x^2 +・・・+n!/{(n-m)!...
*パスカルの三角形:n!/{(n-m)!m!}=nCm [#e4cad4ca]
2項係数で現れるnCk をn 段目の k 番目に 配置(もちろん n ...
#ref(http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/...
*ネイピア数の級数表示 [#vedf2714]
ネイピア数は、定義より、上式のxに1/nを代入して、n-->無限...
そこで、m番目の項だけ、考える。
n!/{(n-m)!m!}・(1/n)^m = [n・(n-1)・(n-2)・・・(n-m+1...
=1・(1-1/n)・(1-2/n)・・・(1-m/n...
これは、n-->無限大の時、m!に収束するので
ネイピア数 e = 1+1+1/2!+1/3!+1/4!+・・・・
ネイピア数は無限級数で表わされる。
*指数関数の無限級数展開:マクローリン展開 [#ja8b5345]
指数関数の場合も、上と同様に、f(x)=(1+x)^nのxにx/nを代入...
指数関数 e^x = 1+x+x^2/2!+x^3/3!+x^4/4!+・・・・
これは、指数関数のマクローリン展開と同じ結果を与える。
微分を使わなくても、この展開式がえられる。
*指数関数の微分 [#m8120ee7]
指数関数 e^x の微分は指数関数e^xとなることの証明。
d(e^x)/dx=Lim(h-->0){e^(x+h)-e^x}/h
指数法則 a^(b+c)=a^b・a^c より
e^(x+h)-e^x}/h=e^(x+h)-e^x=e^x{e^h-1}/h
そこで、p=e^h-1とおくと
{e^h-1}/h=p/Log(p+1)=1/{1/p・Log(p+1)}=1/Log(p+1)^(1/p)
h-->0の時 1/p-->無限大であり、(p+1)^(1/p)は 自然対数 e...
そこで
h-->0の時 {e^h-1}/h--->1/log(e)=1 となるので、
d(e^x)/dx=Lim(h-->0)e^x{e^h-1}/h=e^x
(証明 終り)
*指数関数の複素変数への拡張 [#a4cacf13]
exp x の微分性質より、これをマクローリン展開すると、
#ref(http://upload.wikimedia.org/math/b/5/8/b588258fb20df...
となることから、定義域を、任意の実数から、複素数全体へと...
上式のxにixを代入することで,exp x のマクローリン展開より
exp(ix)を、cis x と書き、複素指数関数と呼ぶ。
#ref(http://upload.wikimedia.org/math/7/d/b/7db7184078753...
右辺の第 1 項は cos x のマクローリン展開、第 2 項は sin x...
*オイラーの公式:exp ix = cos x + isin x [#zf758e78]
この公式は、全く起源の異なる指数関数と三角関数が複素数の...
#ref(http://upload.wikimedia.org/math/9/4/f/94fa1f0222f39...
#ref(http://upload.wikimedia.org/math/4/0/b/40b8ead57403b...
と置き換えることで、初等関数は全て指数関数の一部であると...
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